Der Satz von Vieta wird häufig verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu überprüfen. Wenn Sie die Wurzeln gefunden haben, können Sie mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte von \(p \) und \(q\ ). Und wenn sich herausstellt, dass sie dieselben sind wie in der ursprünglichen Gleichung, dann sind die Wurzeln richtig gefunden.
Lassen Sie uns zum Beispiel mit die Gleichung \(x^2+x-56=0\) lösen und die Wurzeln erhalten: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Überprüfen wir, ob uns im Lösungsprozess ein Fehler unterlaufen ist. In unserem Fall ist \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Beide Aussagen stimmten überein, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.
Diese Prüfung kann mündlich erfolgen. Es dauert 5 Sekunden und erspart Ihnen dumme Fehler.
Vietas umgekehrter Satz
Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).
Oder auf einfache Weise: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann lösen Sie das System \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.
Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, insbesondere wenn diese Wurzeln sind. Diese Fähigkeit ist wichtig, weil sie viel Zeit spart.
Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).
Lösung
: Unter Verwendung des Umkehrsatzes von Vieta finden wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Schauen Sie sich die zweite Gleichung des Systems \(x_1 \cdot x_2=6\) an. In welche zwei lässt sich die Zahl \(6\) zerlegen? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\) und \(-6\) und \(- 1\). Die erste Gleichung des Systems sagt Ihnen, welches Paar Sie wählen müssen: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, da \(2+3=5\).
Antwort
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Beispiele
. Finden Sie mithilfe der Umkehrung des Satzes von Vieta die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Lösung
:
a) \(x^2-15x+14=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren expandiert \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergibt die Summe \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergibt die Summe \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).
Es ist nicht notwendig, den letzten Term auf alle möglichen Faktoren zu erweitern (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort prüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.
Wichtig! Der Satz von Vieta und der umgekehrte Satz funktionieren nur mit , also einem, für den der Koeffizient von \(x^2\) gleich eins ist. Wenn uns zunächst eine nichtreduzierte Gleichung gegeben wurde, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \(x^2\) dividieren.
Zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen der Sätze von Vieta verwenden. Das können wir aber nicht, da der Koeffizient von \(x^2\) gleich \(2\) ist. Beseitigen wir es, indem wir die gesamte Gleichung durch \(2\) dividieren.
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Bereit. Jetzt können Sie beide Sätze verwenden.
Antworten auf häufig gestellte Fragen
Frage:
Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes Problem lösen?
Antwort:
Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht weiter. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend
. Glücklicherweise haben 80 % der Gleichungen in der Schulmathematik ganzzahlige Lösungen.
I. Satz von Vieta für die reduzierte quadratische Gleichung.
Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.
Finden Sie die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.
Beispiel 1) x 2 -x-30=0. Dies ist die reduzierte quadratische Gleichung ( x 2 +px+q=0), zweiter Koeffizient p=-1, und das freie Mitglied q=-30. Stellen wir zunächst sicher, dass diese Gleichung Wurzeln hat und dass die Wurzeln (falls vorhanden) in ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Dazu reicht es aus, dass die Diskriminante ein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist.
Die Diskriminante finden D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Nun muss nach dem Satz von Vieta die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten sein, der mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wird, d. h. ( -P), und das Produkt ist gleich dem freien Term, d.h. ( Q). Dann:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Wir müssen zwei Zahlen wählen, deren Produkt gleich ist -30 , und der Betrag ist Einheit. Das sind Zahlen -5 Und 6 . Antwort: -5; 6.
Beispiel 2) x 2 +6x+8=0. Wir haben die reduzierte quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten p=6 und kostenloses Mitglied q=8. Stellen wir sicher, dass es ganzzahlige Wurzeln gibt. Finden wir die Diskriminante D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Die Diskriminante D 1 ist das perfekte Quadrat der Zahl 1 , was bedeutet, dass die Wurzeln dieser Gleichung ganze Zahlen sind. Wählen wir die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta aus: Die Summe der Wurzeln ist gleich –ð=-6, und das Produkt der Wurzeln ist gleich q=8. Das sind Zahlen -4 Und -2 .
Tatsächlich: -4-2=-6=-ð; -4∙(-2)=8=q. Antwort: -4; -2.
Beispiel 3) x 2 +2x-4=0. In dieser reduzierten quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient p=2, und das freie Mitglied q=-4. Finden wir die Diskriminante D 1, da der zweite Koeffizient eine gerade Zahl ist. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat der Zahl, also tun wir es Abschluss: Die Wurzeln dieser Gleichung sind keine ganzen Zahlen und können nicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden. Das heißt, wir lösen diese Gleichung wie gewohnt mit den Formeln (in diesem Fall mit den Formeln). Wir bekommen:
Beispiel 4). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln if x 1 =-7, x 2 =4.
Lösung. Die erforderliche Gleichung wird in der Form geschrieben: x 2 +px+q=0, und, basierend auf dem Satz von Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Dann nimmt die Gleichung die Form an: x 2 +3x-28=0.
Beispiel 5). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln, wenn:
II. Satz von Vieta für eine vollständige quadratische Gleichung Axt 2 +bx+c=0.
Die Summe der Wurzeln ist minus B, geteilt durch A, das Produkt der Wurzeln ist gleich Mit, geteilt durch
2.5 Vieta-Formel für Polynome (Gleichungen) höheren Grades
Die von Viète abgeleiteten Formeln für quadratische Gleichungen gelten auch für Polynome höheren Grades.
Sei das Polynom
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Hat n verschiedene Wurzeln x 1, x 2..., x n.
In diesem Fall hat es eine Faktorisierung der Form:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Teilen wir beide Seiten dieser Gleichheit durch a 0 ≠ 0 und öffnen wir die Klammern im ersten Teil. Wir erhalten die Gleichheit:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Aber zwei Polynome sind genau dann identisch gleich, wenn die Koeffizienten derselben Potenzen gleich sind. Daraus folgt die Gleichheit
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Zum Beispiel für Polynome dritten Grades
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Wir haben Identitäten
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Bei quadratischen Gleichungen wird diese Formel als Vieta-Formeln bezeichnet. Die linken Seiten dieser Formeln sind symmetrische Polynome aus den Wurzeln x 1, x 2 ..., x n dieser Gleichung, und die rechten Seiten werden durch den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt.
2.6 Auf quadratische (biquadratische) reduzierbare Gleichungen
Gleichungen vierten Grades werden auf quadratische Gleichungen reduziert:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
genannt biquadratisch, und a ≠ 0.
Es reicht aus, x 2 = y in diese Gleichung einzufügen, daher gilt
ay² + by + c = 0
Finden wir die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung
y 1,2 = 
Um die Wurzeln x 1, x 2, x 3, x 4 sofort zu finden, ersetzen Sie y durch x und erhalten Sie
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Wenn eine Gleichung vierten Grades x 1 hat, dann hat sie auch eine Wurzel x 2 = -x 1,
Wenn x 3 ist, dann ist x 4 = - x 3. Die Summe der Wurzeln einer solchen Gleichung ist Null.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Setzen wir die Gleichung in die Formel für die Wurzeln biquadratischer Gleichungen ein:
x 1,2,3,4 = 
,
Wenn man weiß, dass x 1 = -x 2 und x 3 = -x 4, dann:
x 3,4 = 
Antwort: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Studium biquadratischer Gleichungen
Nehmen wir die biquadratische Gleichung
ax 4 + bx 2 + c = 0,
wobei a, b, c reelle Zahlen sind und a > 0. Durch Einführung der Hilfsunbekannten y = x² untersuchen wir die Wurzeln dieser Gleichung und tragen die Ergebnisse in die Tabelle ein (siehe Anhang Nr. 1).
2.8 Cardano-Formel
Wenn wir moderne Symbolik verwenden, kann die Ableitung der Cardano-Formel so aussehen:
x = 
Diese Formel bestimmt die Wurzeln einer allgemeinen Gleichung dritten Grades:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Diese Formel ist sehr umständlich und komplex (sie enthält mehrere komplexe Reste). Es wird nicht immer zutreffen, weil... sehr schwer auszufüllen.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
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Bevor wir zum Satz von Vieta übergehen, führen wir eine Definition ein. Quadratische Gleichung der Form X² + px + Q= 0 heißt reduziert. In dieser Gleichung ist der führende Koeffizient gleich eins. Zum Beispiel die Gleichung X² - 3 X- 4 = 0 wird reduziert. Jede quadratische Gleichung der Form Axt² + b X + C= 0 kann reduziert werden, indem beide Seiten der Gleichung durch dividiert werden A≠ 0. Zum Beispiel Gleichung 4 X² + 4 X— 3 = 0 durch Division durch 4 wird auf die Form reduziert: X² + X— 3/4 = 0. Lassen Sie uns die Formel für die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung herleiten. Dazu verwenden wir die Formel für die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung: Axt² + bx + C = 0
Reduzierte Gleichung X² + px + Q= 0 stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der A = 1, B = P, C = Q. Daher hat die Formel für die gegebene quadratische Gleichung die Form: 
Der letzte Ausdruck wird als Formel für die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung bezeichnet. Es ist besonders praktisch, diese Formel zu verwenden, wenn R- gerade Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen X² — 14 X — 15 = 0
Als Antwort schreiben wir, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.
Für die reduzierte quadratische Gleichung mit positivem gilt der folgende Satz.
Satz von Vieta
Wenn X 1 und X 2 - Wurzeln der Gleichung X² + px + Q= 0, dann gelten die Formeln:
X 1 + X 2 = — R
x 1 * x 2 = q, Das heißt, die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Basierend auf der Formel für die Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung haben wir:
Wenn wir diese Gleichungen addieren, erhalten wir: X 1 + X 2 = —R.
Wenn wir diese Gleichungen mit der Differenzquadratformel multiplizieren, erhalten wir:
Beachten Sie, dass der Satz von Vieta auch gilt, wenn die Diskriminante gleich Null ist, wenn wir annehmen, dass in diesem Fall die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat: X 1 = X 2 = — R/2.
Ohne Gleichungen zu lösen X² — 13 X+ 30 = 0 Finden Sie die Summe und das Produkt seiner Wurzeln X 1 und X 2. diese Gleichung D= 169 – 120 = 49 > 0, daher kann der Satz von Vieta angewendet werden: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an. Eine der Wurzeln der Gleichung X² — px- 12 = 0 ist gleich X 1 = 4. Finden Sie den Koeffizienten R und die zweite Wurzel X 2 dieser Gleichung. Nach dem Satz von Vieta x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R. Als X 1 = 4, dann 4 X 2 = - 12, daher X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) = - (4 - 3) = - 1. Als Antwort schreiben wir die zweite Wurzel auf X 2 = - 3, Koeffizient p = – 1.
Ohne Gleichungen zu lösen X² + 2 X- 4 = 0 Lassen Sie uns die Summe der Quadrate seiner Wurzeln ermitteln. Lassen X 1 und X 2 - Wurzeln der Gleichung. Nach dem Satz von Vieta X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = – 4. Als X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 dann X 1²+ X 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Lassen Sie uns die Summe und das Produkt der Wurzeln von Gleichung 3 ermitteln X² + 4 X- 5 = 0. Diese Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln, da die Diskriminante D= 16 + 4*3*5 > 0. Um die Gleichung zu lösen, verwenden wir den Satz von Vieta. Dieser Satz wurde für die gegebene quadratische Gleichung bewiesen. Teilen wir diese Gleichung also durch 3.
Daher ist die Summe der Wurzeln gleich -4/3 und ihr Produkt ist gleich -5/3.
Im Allgemeinen sind die Wurzeln der Gleichung Axt² + b X + C= 0 hängen durch die folgenden Gleichungen zusammen: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Um diese Formeln zu erhalten, genügt es, beide Seiten dieser quadratischen Gleichung durch zu dividieren A ≠ 0 und wenden Sie den Satz von Vieta auf die resultierende reduzierte quadratische Gleichung an. Betrachten wir ein Beispiel: Sie müssen eine reduzierte quadratische Gleichung erstellen, deren Wurzeln X 1 = 3, X 2 = 4. Als X 1 = 3, X 2 = 4 - Wurzeln einer quadratischen Gleichung X² + px + Q= 0, dann nach dem Satz von Vieta R = — (X 1 + X 2) = — 7, Q = X 1 X 2 = 12. Wir schreiben die Antwort als X² — 7 X+ 12 = 0. Bei der Lösung einiger Probleme wird der folgende Satz verwendet.
Satz invers zum Satz von Vieta
Wenn die Zahlen R, Q, X 1 , X 2 sind so X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Das x 1 Und x 2- Wurzeln der Gleichung X² + px + Q= 0. Auf der linken Seite einsetzen X² + px + Q anstatt R Ausdruck - ( X 1 + X 2) und stattdessen Q- arbeiten x 1 * x 2 . Wir bekommen: X² + px + Q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Also, wenn die Zahlen R, Q, X 1 und X 2 sind durch diese Beziehungen verbunden, also für alle X Gleichheit gilt X² + px + Q = (x - x 1) (x - x 2), woraus folgt X 1 und X 2 - Wurzeln der Gleichung X² + px + Q= 0. Mit dem umgekehrten Satz zum Satz von Vieta können Sie manchmal die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Auswahl finden. Schauen wir uns ein Beispiel an: X² — 5 X+ 6 = 0. Hier R = — 5, Q= 6. Wählen wir zwei Zahlen X 1 und X 2 damit X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Wenn wir bemerken, dass 6 = 2 * 3 und 2 + 3 = 5, erhalten wir durch den Satz, der zum Satz von Vieta invers ist, Folgendes X 1 = 2, X 2 = 3 - Wurzeln der Gleichung X² — 5 X + 6 = 0.