À la promotion 2013 de tout mon cœur
Après tout, le cercle est infini
un grand cercle et une ligne droite sont la même chose.
Galilée
Le mot « période » évoque une association très spécifique dans l’esprit des citoyens fatigués de la dure réalité environnante. À savoir « le temps ». Autrement dit, eux, ces citoyens, lorsqu’on leur demande « à quoi est associé le mot « période » », répètent comme d’habitude : « temps ». En général, il n’est pas nécessaire de compter sur l’imagination.
Comment faire fonctionner l’hémisphère droit, devenu paresseux en raison de l’accélération du progrès ? Et voilà que les grandes et terribles MATHÉMATIQUES viennent à la rescousse ! Oui, oui, le mot fait peur au psychisme fragile, tout aussi vivement que la mathématicienne elle-même avec un triangle à la main.
Mais il convient de noter que c'est cette dame respectable (ou monsieur respecté) qui a un jour tenté désespérément d'enrichir votre vocabulaire, expliquant que le mot « période » peut être appelé non seulement une période de temps, mais aussi « une répétition sans fin ». groupe de nombres » après un point décimal dans une fraction décimale d’enregistrement. Et ces fractions sont appelées périodiques.
Les citoyens épuisés par l'enseignement secondaire savent très probablement que toute fraction ordinaire peut être écrite sous forme décimale - finie ou infinie. Dans ce dernier cas, le phénomène miraculeux de la période se produit.
Par exemple, si vous divisez deux par trois dans une « colonne » pendant une longue période, vous obtenez ceci :
2/3 = 2: 3 = 0,666… = 0,(6).
Le processus inverse n’est pas moins fascinant. Si vous avez un désir irrésistible de convertir une fraction périodique en une fraction ordinaire, vous devez alors prendre les mesures suivantes :
Arc. Applaudissements. Un rideau. Tout le monde est ravi de partir. Et puis - la voix malveillante du professeur :
— Et traduisez pour moi, mes chers enfants, 0,(9) en une fraction ordinaire.
Oui, plus facile que des navets cuits à la vapeur ! Travaillez selon le modèle - il n'est pas nécessaire de remplir la mezzanine :
laisser X= 0,(9), puis 10 X= 9,(9). Soustrayez la première de la deuxième équation :
10X - X= 9,(9) - 0,(9), soit 9 X= 9. De X= 1. Donc 0,(9) = 1.
À ce stade, en règle générale, une dissonance cognitive surgit dans la tête des jeunes qui, jusqu'à présent, regardaient tristement le tableau. Parce que, entre autres, ils voient :
0,(9) = 1.
Quelqu’un pensait tristement qu’il savait qu’on ne pouvait pas faire confiance aux enseignants. Quelqu'un s'est mis à pleurer et s'est enfui. Certains chanceux n'ont pas écouté, ils ont donc gardé leur cerveau intact et continuent d'ignorer la catastrophe qui a éclaté dans l'esprit de leurs collègues.
- Tu ne me crois pas ? AHAHAHAHAHA Et maintenant je vais vous le prouver en utilisant la somme d’une progression géométrique infiniment décroissante.
Et sur le tableau, quelque chose comme ceci apparaît :
Comme c'est effrayant de vivre ! Si l'enseignant a décidé de mentionner qu'il est possible de prouver cette égalité en utilisant la notion de limite, alors il est sadique. Si quelque chose comme « et c’est infinitésimal » s’introduit, alors, en général, c’est un monstre.
Laissant à l’éducation russe la joie de s’occuper des bourreaux d’enfants, il est nécessaire de tirer une conclusion concernant les résultats décrits ci-dessus.
Si dans votre vie quotidienne normale, vous devez faire un travail intéressant, mais probablement étrange, parce que vous allez manipuler 0,(9), alors rappelez-vous qu'il s'agit de 1.
Merci à tous! Tout le monde est libre !
S’ils connaissent la théorie des séries, sans elle aucun concept métamatique ne peut être introduit. De plus, ces gens croient que quiconque ne l’utilise pas largement est ignorant. Laissons le point de vue de ces personnes à leur conscience. Comprenons mieux ce qu'est une fraction périodique infinie et comment nous, personnes sans instruction et sans limites, devrions la gérer.
Divisons 237 par 5. Non, vous n'avez pas besoin de lancer la Calculatrice. Retenons mieux l'école secondaire (voire primaire ?) et divisons-la simplement en colonne :
Eh bien, tu t'en souviens ? Ensuite, vous pourrez vous mettre au travail.
Le concept de « fraction » en mathématiques a deux significations :
- Nombre non entier.
- Forme non entière.
- Simple (ou verticale) fractions, comme 1/2 ou 237/5.
- Fractions décimales, telles que 0,5 ou 47,4.
En mathématiques, en général, le comptage décimal a toujours été accepté et, par conséquent, les fractions décimales sont plus pratiques que les fractions simples, c'est-à-dire une fraction avec un dénominateur décimal (Vladimir Dal. Dictionnaire explicatif de la grande langue russe vivante. « Dix ») .Et si c’est le cas, alors je veux faire de chaque fraction verticale une décimale (« horizontale »). Et pour ce faire, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Prenons, par exemple, la fraction 1/3 et essayons d'en faire une décimale.
Même une personne totalement inculte le remarquera : peu importe le temps que cela prendra, il ne se séparera pas : les triplés continueront d'apparaître à l'infini. Alors écrivons-le : 0,33... Nous entendons « le nombre obtenu en divisant 1 par 3 », ou, en bref, « un tiers ». Naturellement, un tiers est une fraction au premier sens du terme, et « 1/3 » et « 0,33... » sont des fractions au deuxième sens du terme, c'est-à-dire formulaires d'inscription un nombre situé sur la droite numérique à une telle distance de zéro que si vous le mettez de côté trois fois, vous en obtenez un.
Essayons maintenant de diviser 5 par 6 :
Écrivons-le à nouveau : 0,833... Nous entendons « le nombre que vous obtenez lorsque vous divisez 5 par 6 », ou, en bref, « cinq sixièmes ». Cependant, une confusion surgit ici : cela signifie-t-il 0,83333 (et ensuite les triplets sont répétés), ou 0,833833 (et ensuite 833 est répété). Par conséquent, la notation avec points de suspension ne nous convient pas : on ne sait pas où commence la partie répétitive (on l'appelle « point »). Nous mettrons donc le point entre parenthèses, comme ceci : 0,(3) ; 0,8(3).
0,(3) pas facile équivaut à un tiers, c'est Il y a un tiers, car nous avons spécialement inventé cette notation pour représenter ce nombre sous forme de fraction décimale.
Cette entrée s'appelle fraction périodique infinie, ou simplement une fraction périodique.
Chaque fois que nous divisons un nombre par un autre, si nous n’obtenons pas une fraction finie, nous obtenons une fraction périodique infinie, c’est-à-dire qu’un jour les séquences de nombres commenceront définitivement à se répéter. La raison pour laquelle il en est ainsi peut être comprise de manière purement spéculative en examinant attentivement l'algorithme de division des colonnes :
Aux endroits cochés, différentes paires de nombres ne peuvent pas toujours être obtenues (car, en principe, il existe un nombre fini de telles paires). Et dès qu'une telle paire apparaîtra là-bas, qui existait déjà, la différence sera également la même - et alors tout le processus commencera à se répéter. Il n'est pas nécessaire de vérifier cela, car il est bien évident que si vous répétez les mêmes actions, les résultats seront les mêmes.
Maintenant qu'on comprend bien essence fraction périodique, essayons de multiplier un tiers par trois. Oui, bien sûr, vous en obtiendrez un, mais écrivons cette fraction sous forme décimale et multiplions-la dans une colonne (il n'y a pas d'ambiguïté ici à cause des points de suspension, puisque tous les nombres après la virgule décimale sont les mêmes) :
Et encore une fois, nous remarquons que neuf, neuf et neuf apparaîtront tout le temps après la virgule décimale. Autrement dit, en utilisant la notation par parenthèse inversée, nous obtenons 0, (9). Puisque nous savons que le produit d’un tiers et de trois est un, alors 0.(9) est une façon très sophistiquée d’écrire un. Cependant, il est inapproprié d'utiliser cette forme d'enregistrement, car une unité peut être écrite parfaitement sans utiliser de point, comme ceci : 1.
Comme vous pouvez le voir, 0,(9) est l'un de ces cas où le nombre entier est écrit sous forme de fraction, comme 3/3 ou 7,0. Autrement dit, 0,(9) est une fraction uniquement dans le deuxième sens du mot, mais pas dans le premier.
Ainsi, sans aucune limite ni série, nous avons compris ce qu'est 0,(9) et comment le gérer.
Mais rappelons-nous quand même qu’en fait nous sommes des analyses intelligentes et étudiées. En effet, il est difficile de nier que :
Mais peut-être que personne ne contestera le fait que :
Bien entendu, tout cela est vrai. En effet, 0,(9) est à la fois la somme de la série réduite, et le double sinus de l'angle indiqué, et le logarithme népérien du nombre d'Euler.
Mais ni l’une, ni l’autre, ni la troisième ne sont une définition.
Dire que 0,(9) est la somme de la série infinie 9/(10 n), avec n égal à un, revient à dire que sinus est la somme de la série infinie de Taylor :
Ce absolument raison, et c'est le fait le plus important pour les mathématiques computationnelles, mais ce n'est pas une définition et, surtout, cela ne rapproche pas une personne de la compréhension essentiellement sinus L'essence du sinus d'un certain angle est qu'il juste tout le rapport de la jambe opposée à l'angle à l'hypoténuse.
Ainsi, une fraction périodique est juste tout une fraction décimale obtenue lorsque lors de la division par une colonne le même ensemble de nombres sera répété. Il n’y a ici aucune trace d’analyse.
Et c’est là que se pose la question : d’où vient-il ? du tout avons-nous pris le chiffre 0,(9) ? Par quoi divise-t-on avec une colonne pour l'obtenir ? En effet, il n’existe pas de nombres tels que, divisés en colonne, nous obtenions des neufs apparaissant à l’infini. Mais on a réussi à obtenir ce nombre en multipliant 0,(3) par 3 avec une colonne ? Pas vraiment. Après tout, il faut multiplier de droite à gauche pour prendre en compte correctement les transferts de chiffres, et nous l'avons fait de gauche à droite, en profitant astucieusement du fait que les transferts ne se produisent de toute façon nulle part. Par conséquent, la légalité de l’écriture de 0,(9) dépend de la reconnaissance ou non de la légalité d’une telle multiplication par une colonne.
Par conséquent, nous pouvons généralement dire que la notation 0,(9) est incorrecte - et dans une certaine mesure avoir raison. Cependant, puisque la notation a ,(b ) est acceptée, il est tout simplement moche de l'abandonner lorsque b = 9 ; Il est préférable de décider ce que signifie une telle entrée. Donc, si nous acceptons généralement la notation 0,(9), alors cette notation signifie bien sûr le chiffre un.
Il ne reste plus qu'à ajouter que si nous utilisions, disons, le système numérique ternaire, alors en divisant par une colonne de un (1 3) par trois (10 3), nous obtiendrions 0,1 3 (lire « zéro virgule un tiers »), et en divisant Un par deux serait 0,(1) 3.
Ainsi, la périodicité d'un nombre fractionnaire n'est pas une caractéristique objective d'un nombre fractionnaire, mais simplement un effet secondaire de l'utilisation de l'un ou l'autre système numérique.
comment convertir des nombres dans une période comme 0,(3) en une fraction régulière ? et j'ai obtenu la meilleure réponse
Réponse de Or-Argent[gourou]
La règle pour convertir une fraction périodique infinie en fraction ordinaire est la suivante :
Pour convertir une fraction périodique en fraction ordinaire, vous devez soustraire le nombre avant la première période du nombre avant la deuxième période, et écrire cette différence comme numérateur, et au dénominateur, écrire le nombre 9 autant de fois qu'il y en a. chiffres dans le point, et ajoutez autant de zéros après les dizaines, combien de chiffres se trouvent entre la virgule décimale et le premier point. Par exemple
Explication détaillée suivez le lien vers la source.
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Votre exemple :
3-0=3 est le numérateur de la fraction.
3/9=1/3
Source : (supprimer le ++ du lien)
Réponse de Shkoda[gourou]
répondre
3/9
0,353535....=35/99
Réponse de MaKS[gourou]
comme ça:
0,(3)=0,33 (les trois premiers sont la première période et les trois seconds sont la deuxième période)
dessinez une fraction et au numérateur vous écrivez ce qui suit : en fermant la deuxième période, il reste la première période (c'est-à-dire trois). Vous écrivez donc 3 au numérateur (vous fermez la première période, et comme vous pouvez le voir il y en a). pas de nombres avant. Par conséquent, nous écrivons 0), ces deux nombres (3 et 0) soustraient du numérateur. obtenu dans le refroidisseur 3.
Passons maintenant au dénominateur : comptez le nombre de chiffres entre parenthèses. dans ce cas - un chiffre. Cela signifie que vous écrivez un neuf dans le signe. et puis, s'il n'y a pas de nombre entre la virgule et les parenthèses, alors on n'ajoute rien au dénominateur. (et si c'était, par exemple, 0,4(3), alors j'écrirais 4) et donc nous écrivons seulement 9 au dénominateur.
et voici donc notre fraction : 3/9 (trois neuvièmes) et si on la raccourcit alors 1/3 (un tiers)
Réponse de Denis Mironov[débutant]
F
Réponse de Karina Rossikhina[débutant]
0,(3)=0.3+0.03....
g=b2:b1=0,03:0,3=0,1
S=b1:1-g=0,3:1-0,1=0,3:0,9=trois neuvièmes et donc un tiers, si raccourci)
Réponse de Irina Racheva[débutant]
Votre exemple :
3-0=3 est le numérateur de la fraction.
le dénominateur sera 9, on n'écrit pas de zéros, car il n'y a pas d'autres nombres entre la virgule décimale et le point.
3/9=1/3
Réponse de Anton Nosyrev[actif]
2,(36)=(236-2)/99=234/99=26/11 ou deux virgule quatre onze
Réponse de 3 réponses[gourou]
Bonjour! Voici une sélection de sujets avec des réponses à votre question : comment convertir des nombres dans un point comme 0,(3) en une fraction commune ?
L'opération de division implique la participation de plusieurs composantes principales. Le premier d’entre eux est ce qu’on appelle le dividende, c’est-à-dire un nombre soumis à la procédure de division. Le second est le diviseur, c'est-à-dire le nombre par lequel la division est effectuée. Le troisième est le quotient, c'est-à-dire le résultat de l'opération de division du dividende par le diviseur.
Résultat de la division
Le résultat le plus simple pouvant être obtenu en utilisant deux entiers positifs comme dividende et diviseur est un autre entier positif. Par exemple, en divisant 6 par 2, le quotient sera égal à 3. Cette situation est possible si le dividende est le diviseur, c'est-à-dire qu'il est divisé par celui-ci sans reste.Il existe cependant d'autres options lorsqu'il est impossible de réaliser une opération de division sans reste. Dans ce cas, un nombre non entier devient un quotient, qui peut être écrit comme une combinaison d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire. Par exemple, en divisant 5 par 2, le quotient est de 2,5.
Nombre dans la période
L'une des options qui peuvent résulter si le dividende n'est pas un multiple du diviseur est ce qu'on appelle le nombre en période. Cela peut résulter d'une division si le quotient s'avère être un ensemble de nombres qui se répètent sans cesse. Par exemple, un nombre dans un point peut apparaître lors de la division du nombre 2 par 3. Dans cette situation, le résultat, sous forme de fraction décimale, sera exprimé comme une combinaison d'un nombre infini de 6 chiffres après la virgule.Afin d'indiquer le résultat d'une telle division, une manière particulière d'écrire les nombres dans un point a été inventée : un tel nombre est indiqué en plaçant un chiffre répétitif entre parenthèses. Par exemple, le résultat de la division de 2 par 3 serait écrit en utilisant cette méthode sous la forme 0,(6). Cette notation est également applicable si seulement une partie du nombre résultant de la division est répétitive.
Par exemple, en divisant 5 par 6, le résultat sera un nombre périodique de la forme 0,8(3). L'utilisation de cette méthode, d'une part, est plus efficace que d'essayer d'écrire tout ou partie des chiffres d'un nombre dans une période, et d'autre part, elle a une plus grande précision par rapport à une autre méthode de transmission de tels nombres - l'arrondi, et en plus, il vous permet de distinguer les nombres en période d'une fraction décimale exacte avec la valeur correspondante en comparant la grandeur de ces nombres. Ainsi, par exemple, il est évident que 0,(6) est nettement supérieur à 0,6.
Fraction périodique une fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain point, il n'y a qu'un certain groupe de chiffres périodiquement répété. Par exemple, 1.3181818... ; En bref, cette fraction s'écrit ainsi : 1,3(18), c'est-à-dire qu'ils mettent le point entre parenthèses (et disent : « 18 dans le point »). P. est dit pur si le point commence immédiatement après la virgule, par exemple 2(71) = 2,7171..., et mixte si après la virgule il y a des nombres précédant le point, par exemple 1,3(18). Le rôle des fractions décimales en arithmétique est dû au fait que lorsque des nombres rationnels, c'est-à-dire des fractions ordinaires (simples), sont représentés par des fractions décimales, des fractions finies ou périodiques sont toujours obtenues. Plus précisément : une fraction décimale finale est obtenue lorsque le dénominateur d'une fraction simple irréductible ne contient pas d'autres facteurs premiers autres que 2 et 5 ; dans tous les autres cas, le résultat est une fraction P., et, de plus, elle est pure si le dénominateur d'une fraction irréductible donnée ne contient pas du tout les facteurs 2 et 5, et mixte si au moins un de ces facteurs est contenu au dénominateur. Toute fraction fractionnaire peut être convertie en fraction simple (c'est-à-dire qu'elle est égale à un nombre rationnel). Une fraction pure est égale à une fraction simple dont le numérateur est le point, et le dénominateur est représenté par le nombre 9, écrit autant de fois qu'il y a de chiffres dans le point ; Lors de la conversion d'une fraction mixte en fraction simple, le numérateur est la différence entre le nombre représenté par les nombres précédant la deuxième période et le nombre représenté par les nombres précédant la première période ; Pour composer le dénominateur, il faut écrire le nombre 9 autant de fois qu'il y a de nombres dans le point, et ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de nombres avant le point. Ces règles supposent que le P. donné est correct, c'est-à-dire qu'il ne contient pas d'unités entières ; sinon, la partie entière fait l’objet d’une attention particulière. Les règles permettant de déterminer la durée de la période d'une fraction correspondant à une fraction ordinaire donnée sont également connues. Par exemple, pour une fraction p/p, Où R- nombre premier et 1 ≤ un ≤ p- 1, la durée de la période est un diviseur R- 1. Donc, pour les approximations connues d'un nombre (voir Pi)
22/7 et 355/113 périodes sont respectivement égales à 6 et 112.
Grande Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .
Synonymes:Voyez ce qu'est « Fraction périodique » dans d'autres dictionnaires :
Fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain endroit, un certain groupe de chiffres (point) est périodiquement répété, par exemple. 0,373737... fraction périodique pure ou 0,253737... fraction périodique mixte... Grand dictionnaire encyclopédique
Fraction, fraction infinie Dictionnaire des synonymes russes. fraction périodique nom, nombre de synonymes : 2 fraction infinie (2) ... Dictionnaire de synonymes
Fraction décimale dans laquelle une série de chiffres est répétée dans le même ordre. Par exemple, 0,135135135... est une p.d. dont la période est 135 et qui est égale à la fraction simple 135/999 = 5/37. Dictionnaire de mots étrangers inclus dans la langue russe. Pavlenkov F.... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe
Un nombre décimal est une fraction dont le dénominateur est 10n, où n est un nombre naturel. Il a une forme particulière de notation : une partie entière dans le système numérique décimal, puis une virgule puis une partie fractionnaire dans le système numérique décimal, et le nombre de chiffres de la partie fractionnaire... Wikipédia
Une fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain point, un certain groupe de chiffres (point) est périodiquement répété ; par exemple, 0,373737... fraction périodique pure ou 0,253737... fraction périodique mixte. * * * PÉRIODIQUE… … Dictionnaire encyclopédique
Fraction décimale sans fin dans laquelle, à partir d'un certain endroit, la définition est périodiquement répétée. groupe de chiffres (point); par exemple, 0,373737... P. d. pur ou 0,253737... P. d. Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
Voir la partie... Dictionnaire des synonymes russes et expressions similaires. sous. éd. N. Abramova, M. : Dictionnaires russes, 1999. fraction bagatelle, partie ; dunst, balle, repas, chevrotine ; nombre fractionnaire Dictionnaire des synonymes russes ... Dictionnaire de synonymes
décimal périodique- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Thèmes technologie de l'information en général EN circulant décimalrécurrent décimalpériode décimalpériodique décimalpériodique décimal... Guide du traducteur technique
Si un entier a est divisé par un autre entier b, c'est-à-dire qu'on cherche un nombre x qui satisfait à la condition bx = a, alors deux cas peuvent se présenter : soit dans la série d'entiers il y a un nombre x qui satisfait à cette condition, soit il il s'avère que ,... ... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron
Fraction dont le dénominateur est une puissance entière de 10. Les fractions s'écrivent sans dénominateur, en séparant autant de chiffres au numérateur à droite par une virgule qu'il y a de zéros au dénominateur. Par exemple, dans un tel enregistrement, la partie de gauche... ... Grande Encyclopédie Soviétique