Леонард Эйлер - швейцарский математик и физик, один из основателей чистой математики. Он не только сделал основополагающий и формирующий вклад в геометрию, исчисление, механику и теорию чисел, но также разработал методы решения задач наблюдательной астрономии и применил математику в технике и общественных делах.
Эйлер (математик): краткая биография
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. Он был первенцем Паулюса Эйлера и Маргареты Брукер. Отец являлся выходцем из скромного рода ремесленников, а предками Маргареты Брукер был ряд известных ученых. Паулюс Эйлер в то время служил викарием в церкви святого Якоба. Будучи богословом, отец Леонарда интересовался математикой, и в течение первых двух лет обучения в университете посещал курсы знаменитого Примерно через полтора года после рождения сына семья переехала в Риен, пригород Базеля, где Паулюс Эйлер стал пастором в местном приходе. Там он добросовестно и преданно служил до конца своих дней.
Семья жила в особенно после рождения второго ребенка, Анны-Марии, в 1708 году. У четы появятся еще двое детей - Мария Магдалена и Иоганн Генрих.
Первые уроки математики Леонард получил дома от своего отца. Примерно в возрасте восьми лет его отправили в латинскую школу в Базеле, где он жил в доме своей бабушки по материнской линии. Чтобы компенсировать низкое качество школьного образования того времени, отец нанял частного репетитора, молодого богослова по имени Йоханнес Буркхардт, страстного любителя математики.
В октябре 1720 года в возрасте 13 лет Леонард поступил в Базельский университет на философский факультет (обычное дело в то время), где посещал вводные занятия по элементарной математике Иоганна Бернулли, младшего брата почившего к тому времени Якоба.
Молодой Эйлер с таким усердием принялся за учебу, что вскоре привлек внимание преподавателя, который поощрил его изучать более сложные книги собственного сочинения и даже предложил помогать в учебе по субботам. В 1723 году Леонард завершил образование со степенью магистра и прочитал публичную лекцию на латинском языке, в которой сравнил систему Декарта с натуральной философией Ньютона.
Следуя пожеланиям своих родителей, он поступил на богословский факультет, посвящая, однако, большую часть времени математике. В конечном итоге, вероятно, по настоянию Иоганна Бернулли, отец принял как должное предназначение сына делать научную, а не теологическую карьеру.
В 19 лет математик Эйлер осмелился соревноваться с крупнейшими учеными того времени, приняв участие в конкурсе на решение задачи Парижской академии наук об оптимальном размещении корабельных мачт. В тот момент он, никогда в своей жизни не видевший кораблей, первый приз не выиграл, но занял престижное второе место. Через год, когда появилась вакансия на кафедре физики в Базельском университете, Леонард, при поддержке своего наставника Иоганна Бернулли, решил побороться за место, но проиграл из-за своего возраста и отсутствия внушительного перечня публикаций. В некотором смысле ему повезло, так как он смог принять приглашение Санкт-Петербургской академии наук, основанной несколькими годами ранее царем Петром I, где Эйлер нашел более перспективное поприще, позволившее ему развиться в полной мере. Основную роль в этом сыграли Бернулли и два его сына, Никлаус II и Даниэль I, которые активно там работали.
Санкт-Петербург (1727-1741): стремительный взлет
Эйлер провел зиму 1726 года в Базеле, изучая анатомию и физиологию в рамках подготовки к исполнению своих ожидаемых обязанностей в академии. Когда он прибыл в Санкт-Петербург и начал работать адъюнктом, стало очевидным, что он должен полностью посвятить себя математическим наукам. Кроме того, от Эйлера требовалось участвовать в принятии экзаменов в кадетском корпусе и консультировать правительство по различным научно-техническим вопросам.
Леонард легко адаптировался к новым суровым условиям жизни на севере Европы. В отличие от большинства других иностранных членов академии, он сразу же начал изучать русский язык и быстро его освоил, причем в письменной и устной формах. Некоторое время он жил с Даниэлем Бернулли и дружил с Кристианом Гольдбахом, постоянным секретарем академии, известным сегодня по своей до сих пор не решенной проблеме, согласно которой любое четное число, начиная с 4, может быть представлено суммой двух простых чисел. Обширная переписка между ними является важным источником по истории науки в XVIII веке.
Леонард Эйлер, достижения в математике которого мгновенно принесли ему мировую известность и повысили его статус, провел в академии свои наиболее плодотворные годы.
В январе 1734 г. он женился на Катарине Гзель, дочери швейцарского художника, преподававшего вместе с Эйлером, и они переехали в собственный дом. В браке появилось на свет 13 детей, из которых, однако, лишь пятеро достигли совершеннолетия. Первенец, Иоганн Альбрехт, также стал математиком, и позже помогал отцу в его работе.
Эйлера не обошли невзгоды. В 1735 году он серьезно заболел и чуть не умер. К великому облегчению всех он поправился, но через три года снова заболел. На этот раз болезнь стоила ему правого глаза, что отчетливо видно на всех портретах ученого с того времени.
Политическая нестабильность в России, которая наступила после смерти царицы Анны Ивановны, вынудила Эйлера покинуть Санкт-Петербург. Тем более что он имел приглашение от прусского короля Фридриха II приехать в Берлин и помочь создать академию наук там.
В июне 1741 года Леонард вместе со своей женой Катариной, 6-летним Йоханном Альбрехтом и годовалым Карлом выехал из Санкт-Петербурга в Берлин.
Работа в Берлине (1741-1766)
Военная кампания в Силезии отложила планы Фридриха II по учреждению академии. И только в 1746 году она, наконец, была образована. Президентом стал Пьер-Луи Моро де Мопертюи, а Эйлер занял пост директора математического отделения. Но до этого он не оставался без дела. Леонард написал около 20 научных статей, 5 основных трактатов и составил более 200 писем.
Несмотря на то что Эйлер исполнял множество обязанностей - отвечал за обсерваторию и ботанические сады, решал кадровые и финансовые вопросы, занимался продажей альманахов, составивших основной источник дохода академии, не говоря уже о различных технологических и инженерных проектах, его математическая работоспособность не пострадала.
Также он не слишком отвлекался на скандал о первенстве открытия принципа наименьшего действия, разразившийся в начале 1750-х годов, на которое претендовал Мопертюи, что оспаривалось швейцарским ученым и новоизбранным академиком Иоганном Самуэлем Кенигом, говорившем о его упоминании Лейбницем в письме к математику Якобу Герману. Кениг был близок к обвинению Мопертюи в плагиате. Когда его попросили предъявить письмо, он не смог этого сделать, и Эйлеру поручили расследовать данный случай. Не питая симпатий к тот встал на сторону президента и обвинил Кенига в мошенничестве. Точка кипения была достигнута, когда Вольтер, занявший сторону Кенига, написал уничижительную сатиру, высмеявшую Мопертюи и не пощадившую Эйлера. Президент был так расстроен, что вскоре покинул Берлин, и Эйлеру пришлось вести дела, де-факто возглавив академию.
Семья ученого
Леонард стал настолько состоятельным, что приобрел усадьбу в Шарлоттенбурге, западном пригороде Берлина, достаточно большую, чтобы обеспечить уютное проживание своей овдовевшей матери, которую привез в Берлин в 1750 году, сводной сестре и всем своим детям.
В 1754 году его первенец Иоганн Альбрехт по рекомендации Мопертюи в возрасте 20 лет также был избран членом Берлинской академии. В 1762 году его работа о возмущениях орбит комет притяжением планет получила приз Петербургской академии, который он разделил с Алексис-Клод Клеро. Второй сын Эйлера, Карл, изучал медицину в Галле, а третий, Кристоф, стал офицером. Его дочь Шарлотта вышла замуж за голландского аристократа, а ее старшая сестра Хелена в 1777 году - за русского офицера.
Козни короля
Отношения ученого с Фридрихом II не были легкими. Отчасти это обуславливалось заметной разницей в личных и философских склонностях: Фредерик - гордый, уверенный в себе, элегантный и остроумный собеседник, сочувствующий математик Эйлер - скромный, незаметный, приземленный и набожный протестант. Другой, возможно, более важной причиной была обида Леонарда на то, что ему так и не был предложен пост президента Берлинской академии. Эта обида только возросла после ухода Мопертюи и усилий Эйлера удержать учреждение на плаву, когда Фридрих пытался заинтересовать президентским креслом Жана Лерона Д"Аламбера. Последний в самом деле приехал в Берлин, но только чтобы сообщить королю о своей незаинтересованности и рекомендовать Леонарда. Фридрих не только проигнорировал совет Д"Аламбера, но демонстративно объявил себя главой академии. Это, наряду со многими другими отказами короля, в конце концов, привело к тому, что биография математика Эйлера снова делала крутой поворот.
В 1766 году, вопреки препятствиям со стороны монарха, он покинул Берлин. Леонард принял приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Санкт-Петербург, где был торжественно встречен вновь.
Опять Санкт-Петербург (1766-1783)
Высокочтимый в академии и обожаемый при дворе Екатерины, великий математик Эйлер занимал чрезвычайно престижную должность и пользовался влиянием, в котором ему так долго отказывали в Берлине. Фактически он играл роль духовного лидера, если не руководителя академии. К сожалению, однако, со здоровьем у него не все складывалось так хорошо. Катаракта левого глаза, начавшая беспокоить его в Берлине, становилась все серьезнее, и в 1771 году Эйлер решился на операцию. Ее следствием стало формирование абсцесса, который почти полностью разрушил зрение.
Позже в том же году во время большого пожара в Санкт-Петербурге его деревянный дом вспыхнул, и почти слепому Эйлеру удалось не сгореть заживо только благодаря героическому спасению Питером Гриммом, мастеровым из Базеля. Чтобы облегчить несчастье, императрица выделила средства на строительство нового дома.
Еще один тяжелый удар постиг Эйлера в 1773 г., когда умерла его жена. Спустя 3 года, чтобы не зависеть от своих детей, он женился во второй раз на ее сводной сестре Саломее-Авигее Гзель (1723-1794).
Несмотря на все эти роковые события, математик Л. Эйлер остался преданным науке. Действительно, около половины его работ было опубликовано или зародилось в Санкт-Петербурге. Среди них два его «бестселлера» - «Письма к немецкой принцессе» и «Алгебра». Естественно, он бы не смог этого сделать без хорошего секретаря и технической помощи, которую ему оказывал, среди прочих, Никлаус Фусс, соотечественник из Базеля и будущий муж внучки Эйлера. Посильное участие в процессе принимал и его сын Иоганн Альбрехт. Последний также выступал в качестве стенографиста сессий академии, на которых ученый, как старейший действительный член, должен был председательствовать.
Смерть
Великий математик Леонард Эйлер умер от инсульта 18 сентября 1783 года во время игры со своим внуком. В день смерти на двух его больших были обнаружены формулы, описывающие полет на воздушном шаре, совершенный 5 июня 1783 в Париже братьями Монгольфье. Идея была развита и подготовлена к изданию сыном Иоганном. Это была последняя статья ученого, опубликованная в 1784-м томе Memoires. Леонард Эйлер и его вклад в математику были настолько велики, что поток статей, ожидавших своей очереди в академических изданиях, еще печатался в течение 50 лет после смерти ученого.
Научная деятельность в Базеле
За короткий базельский период вклад Эйлера в математику составили труды по изохронным и взаимным кривым, а также работа на соискание приза Парижской академии. Но основным трудом на этом этапе стала Dissertatio Physica de sono, поданная в поддержку своего выдвижения на кафедру физики в Базельском университете, о природе и распространении звука, в частности, о скорости звука и его генерации музыкальными инструментами.
Первый санкт-петербургский период
Несмотря на проблемы со здоровьем, которые испытывал Эйлер, достижения в не могут не вызывать удивления. За это время, кроме основных работ по механике, теории музыки, а также военно-морской архитектуре, он написал 70 статей на самые разные темы, от математического анализа и теории чисел до конкретных задач по физике, механике и астрономии.
Двухтомник «Механика» стал началом далеко идущего замысла всеобъемлющего обзора всех аспектов механики, включая механику твердых, гибких и упругих тел, а также жидкостей и небесной механики.
Как видно из записных книжек Эйлера, еще в Базеле он много думал о музыке и музыкальной композиции и планировал написать книгу. Эти планы созрели в Санкт-Петербурге и дали начало труду Tentamen, опубликованному в 1739 году. Произведение начинается с обсуждения природы звука как вибрации частиц воздуха, в том числе его распространения, физиологии слухового восприятия и генерации звука струнными и духовыми инструментами.
Ядро работы составила теория удовольствия, вызываемого музыкой, которую Эйлер создал, присвоив интервалу тона, аккорду или их последовательности численные значения, степени, составляющие «приятность» данной музыкальной конструкции: чем ниже степень, тем выше удовольствие. Работа сделана в контексте любимой автором диатонической хроматической темперации, но также дана полная математическая теория темпераций (как античных, так и современных). Эйлер не был единственным, кто пытался превратить музыку в точную науку: Декарт и Мерсенн сделали то же самое до него, как и Д"Аламбер и многие другие после него.
Двухтомник Scientia Navalis - второй этап его разработки рациональной механики. В книге изложены принципы гидростатики и развивается теория равновесия и колебаний трёхмерных тел, погруженных в воду. Работа содержит зачатки механики твердых тел, которая позже кристаллизуется в книге Theoria Motus corporum solidorum seu rigidorum, третьем крупном трактате по механике. Во втором томе теория применяется к судам, кораблестроению и навигации.
Невероятно, но Леонард Эйлер, достижения в математике которого в этот период были впечатляющими, имел время и выносливость, чтобы написать 300-страничный труд по элементарной арифметике для использования в гимназиях Санкт-Петербурга. Как повезло тем детям, которым преподавал великий ученый!
Берлинские работы
Помимо 280 статей, многие из которых были весьма важными, в этот период математик Леонард Эйлер создал целый ряд эпохальных научных трактатов.
Задача о брахистохроне - поиск пути, по которому точечная масса движется под действием силы тяжести из одной точки в вертикальной плоскости к другой за кратчайшее время - является ранним примером задачи, созданной Иоганном Бернулли, по поиску функции (или кривой), которая оптимизирует аналитическое выражение, зависящее от этой функции. В 1744-м, а затем в 1766-м Эйлер значительно обобщает эту проблему, создав совершенно новый раздел математики - «вариационное исчисление».
Два меньших трактата, о траекториях планет и комет и по оптике, появились примерно в 1744 и 1746 гг. Последний представляет исторический интерес, поскольку он начал дискуссию о ньютоновых частицах и волновой теории света Эйлера.
В знак уважения к своему нанимателю, королю Фридриху II, Леонард перевел важную работу по баллистике англичанина Бенджамина Робинса, хотя тот и несправедливо критиковал его «Механику» 1736 г. Он добавил, однако, так много комментариев, пояснительных записок и исправлений, что в результате книга «Артиллерия» (1745) по объему в 5 раз превысила оригинал.
В двухтомнике «Введение в анализ бесконечно малых» (1748) математик Эйлер позиционирует анализ как независимую дисциплину, обобщает свои многочисленные открытия в области бесконечных рядов, бесконечных произведений и непрерывных дробей. Он развивает четкую концепцию функции действительных и комплексных значений и подчеркивает фундаментальную роль в анализе числа е, экспоненциальной и логарифмической функций. Второй том посвящен аналитической геометрии: теории алгебраических кривых и поверхностей.
«Дифференциальное исчисление» также состоит из двух частей, первая из которых посвящена исчислению различий и дифференциалов, а вторая - теории степенных рядов и суммирующих формул с большим количеством примеров. Здесь, кстати, содержится первый напечатанный ряд Фурье.
В трехтомном «Интегральном исчислении» математик Эйлер рассматривает квадратуры (т. е. бесконечные итерации) элементарных функций и техники приведения к ним линейных дифференциальных уравнений, подробно описывает теорию линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
На протяжении всех лет в Берлине и позднее Леонард занимался геометрической оптикой. Его статьи и книги по этой теме, в том числе монументальный трехтомник «Диоптрика», составили семь томов Opera Omnia. Центральной темой этой работы являлось улучшение оптических приборов, таких как телескопы и микроскопы, способы устранения хроматических и сферических аберраций через сложную систему линз и заполняющих жидкостей.
Эйлер (математик): интересные факты второго санкт-петербургского периода
Это было наиболее продуктивное время, в течение которого ученый опубликовал более 400 работ по уже упомянутым темам, а также по геометрии, теории вероятностей и статистике, картографии, и даже о пенсионных фондах для вдов и о сельском хозяйстве. Из них можно выделить три трактата по алгебре, теории Луны и военно-морской науке, а также по теории чисел, натуральной философии и диоптрике.
Здесь появился очередной его «бестселлер» - «Алгебра». Имя математика Эйлера украсило эту 500-страничную работу, которая написана с целью обучить данной дисциплине абсолютного новичка. Он диктовал книгу молодому подмастерью, которого привез с собой из Берлина, и когда труд был закончен, тот во всем разобрался и был в состоянии с большой легкостью решать заданные ему алгебраические задачи.
«Вторая теория судов» также предназначалась для людей, не имеющих познаний в математике, а именно - матросов. Не удивительно, что благодаря необыкновенному дидактическому мастерству автора работа оказалась очень успешной. Министр морского флота и финансов Франции Анн-Робер Тюрго предложил королю обязать всех студентов морских, а также артиллерийских школ изучать трактат Эйлера. Весьма вероятно, что одним из тех студентов оказался Наполеон Бонапарт. Король даже заплатил математику 1000 рублей за привилегию переиздания работы, и императрица Екатерина II, не желая уступать королю, удвоила сумму, и великий математик Леонард Эйлер дополнительно получил 2000 рублей!
(1707-1783) швейцарский и русский математик
Леонард Эйлер родился в апреле 1707 года в Швейцарии, в городе Базеле. Его отец, Пауль Эйлер, пастор, имел небольшой приход в местечке Риэн. Он получил хорошее образование, учился в Базельском университете и увлекался математикой. В Базельском университете преподавали знаменитые братья Бернулли, Якоб и Иоганн. Мать Леонарда, Маргарет Брукер, была из семьи пастора.
Первые уроки математики Леонард получил дома, в семье, с ним много занимался отец, защитивший диссертацию по математике. Несмотря на свое юношеское увлечение математикой, отец хотел сделать из Леонарда священника, дать ему духовное образование.
Школьные годы мальчика прошли в латинской школе. И хотя это была городская школа и находилась в Базеле, она больше напоминала сельскую по уровню преподавания, который был очень низок, и о получении серьезных математических знаний говорить не приходилось.
В тринадцать лет Леонард поступает на факультет свободных искусств Базельского университета. Здесь на него обратил внимание профессор Иоганн Бернулли. Он был из знаменитой династии Бернулли, известных во всем мире ученых.
Жизнь профессора Базельского университета была нелегкой, денег не хватало, приходилось давать частные уроки. Это все стало известно Леонарду Эйлеру, и он отправился к профессору Бернулли с просьбой позаниматься с ним за отдельную плату. Профессор поговорил с Леонардом и... отказал ему, сказав, что очень занят. Правда, потом он все-таки согласился, и чутье его не подвело. Не забывал Эйлер и другие университетские курсы, гуманитарные предметы. Юноша был широко образован, впечатляли его успехи по истории римского права и натурфилософии.
Эйлер получает звание магистра искусств после блестящей речи о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Интересно, что вместе с ним это же звание магистра получил сын профессора Бернулли, тоже Иоганн, причем ему было только тринадцать лет. В будущем он станет профессором красноречия, а затем и профессором математики, и кафедра Базельского университета перейдет от отца к сыну.
Леонард Эйлер заканчивает факультет свободных искусств, и отец настаивает на богословском образовании. Для юноши слово отца закон, и он начинает изучать древнееврейский и греческий языки. Дело идет с трудом, потому что он продолжает встречаться по субботам с профессором Бернулли, где вместе с его сыновьями увлеченно занимается математикой. Пауль Эйлер был вынужден отступить, и теперь Леонарду ничто не мешает заниматься любимой математикой.
Ему семнадцать лет, и он заканчивает университет. Теперь, как говорится, пора подумать и о работе по специальности. Выясняется, что в Базеле нет работы, все места заняты. Но в это время как раз открылась Петербургская Академия наук, и Леонард Эйлер и братья Николай и Даниил Бернулли получают приглашение в Петербург.
24 мая 1727 года Леонард прибывает в Петербург. Россия становится для него второй родиной. 20-летний математик быстро акклиматизировался, изучил русский язык настолько, что свободно говорил и писал на нем. Прошло три года, и Петербургская Академия по достоинству оценила молодого ученого. В двадцать три года он уже профессор физики, а еще через три года получает кафедру высшей математики.
Ученый много работает, читает лекции, пишет книги. Круг его научных интересов необычайно широк. За четырнадцать лет работы Эйлер написал 80 работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии и механике. Это мог сделать только человек с неуемной энергией.
Запад узнает о великом русском ученом швейцарского происхождения Леонарде Эйлере. Его учитель, профессор Бернулли, в письме обращается к нему как к «знаменитейшему и замечательнейшему мужу» и даже как к «несравненному Леонарду Эйлеру, принцепсу математиков».
И в личной жизни ученого все складывается как нельзя лучше. Он женился на Катерине Гзель, швейцарке, дочери художника, академического живописца и учителя рисования в гимназии. Незадолго перед женитьбой Леонард Эйлер приобрел участок земли на 10-ой линии Васильевского острова между Большим проспектом и Невой и построил дом. Теперь к нему приезжает и младший брат Иоганн Генрих. Он живописец и начинает работать в Академии наук.
В 1738 году случилось несчастье: Леонард Эйлер тяжело заболел и ослеп на правый глаз. Но жизнь и научная работа великого ученого в Петербурге продолжается. Первый петербургский период его деятельности длился четырнадцать лет. Затем ученый уезжает в Берлин. Прусский король Фридрих II предложил ему весьма и весьма выгодные условия. В планах короля было преобразование Общества наук в Берлинскую академию наук и литературы.
19 июля 1741 года 34-летний Эйлер со всеми своими домочадцами отплыл из Петербурга. Начинается так называемый берлинский период жизни ученого. Его дом в Берлине находится на Беренштрассе, в двух шагах от здания Комической оперы.
Хотя король Фридрих II и пригласил великого математика, но на этом его любовь к Эйлеру и закончилась, поскольку тот не соответствовал тому образу придворного ученого, который нарисовал себе сам король. Эйлер был не похож на важного придворного вельможу, салонного острослова. Среднего роста, плотного телосложения, он был благожелателен и прост в обращении, очень доступен, любил пошутить, был вспыльчив и горяч, но отходчив.
В Берлине Эйлер ведет переписку с Михаилом Васильевичем Ломоносовым. Они никогда не встречались, но их письма говорят о том, что взгляды двух великих ученых на многие проблемы совпадают. Эйлер поддерживал также хорошие отношения с физиком Моро де Мопертюи, президентом Академии наук, который часто болел. Когда он уезжал домой, во Францию, то во время его отсутствия обязанности президента выполнял Эйлер.
Эйлер стал первым математиком мира, его работы в области математического анализа и теории чисел стали классикой. Новый подход ученого в геометрии привел к рождению новой науки, которую назовут топологией. Вариационное исчисление, изложенное им, содержало целый ряд новых результатов. Интересы Эйлера простираются от кораблестроения до небесной механики, где он создал теорию движения Луны, когда учитывается притяжение и Луны, и Солнца. Диоптрика и музыка, гидравлика и механика - его интересует все.
Леонард Эйлер поддерживает тесные контакты с Петербургской Академией наук и ведет переговоры о своем возможном возвращении в Петербург. Его обидело то, что король не предложил ему освободившееся место президента Академии. Двадцать пять лет прожил Леонард Эйлер в Берлине, и вот он снова возвращается в Россию, в Петербург, его приглашает сама Екатерина II, покровительница наук. Место Эйлера в Берлине занимает молодой Лагранж, в будущем знаменитый математик.
60-летнего ученого принимает Екатерина II, он полон энергии и душевных сил, желания работать на благо России. Но Эйлер уже не молодой человек и каждый удар судьбы переносит с трудом. Во-первых, он почти полностью ослеп. Во-вторых, умирает жена, и в довершение всего - пожар. Но сломить Эйлера нельзя. Он работает и как ученый, и как организатор науки, участвует в решении научных проблем. Выходят его книги и монографии. За семнадцать лет жизни в Петербурге после возвращения из Берлина Леонард Эйлер опубликовал двести сочинений. Он женится во второй раз, его жена, Саломея-Абигайль Гзель, - родная сестра его первой супруги. Эйлер любит дом, семью, у него пятеро детей и двадцать шесть внуков. Эйлеры прочно обосновались в Петербурге, дети приняли русское подданство.
Идет 1783 год. Ученому 75 лет. Его здоровье ухудшается, теперь он почти не покидает дом, почти прекращает переписку, которая отнимает так много сил и времени. Правительство позаботилось о том, чтобы великий математик ни в чем не нуждался.
До последнего дня жизни он сохранял ясную голову, оживленно беседовал, делал расчеты.
Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, 800 научных работ. Этот тихий и скромный человек, полностью ослепший, много работал, совершив великое множество научных открытий. Его окружали ученики, которых он любил, коллеги, друзья.
Леонард Эйлер – выдающийся математик
и физик. Самое точное определение, которым можно охарактеризовать
труды, созданные Эйлером, - гениальные материалы, ставшие
достоянием всего человечества.
Именно по его методикам в школах и высших учебных заведениях
обучают учащихся многих поколений. Леонард внёс колоссальный вклад
в развитие математических и физических наук, стал основоположником
основного ряда научных открытий. Благодаря своим достижениям, Эйлер
являлся почетным академиком во многих странах мира.
Основным направлением Эйлера была математика, однако он работал во
многих областях науки, что позволило ему оставить огромное
количество важных работ в астрономии, физике, механике и нескольких
видах прикладных наук. Эйлер стал не только важнейшим
представителем истории в создании учебной литературы для учащихся
школ и университетов, но и являлся учителем для многих выдающихся
математиков нескольких поколений, которые стали последователями
учений Эйлера. Многие знаменитые математики как прошлых лет, так и
современности, основывали свои изучения математических наук в
большей мере на работах Леонарда. Среди них такие «короли»
математики, как Лаплас и Карл Фридрих Гаусс. До сих пор, после
многих лет со дня смерти Эйлера, он является вдохновителем для
многих учёных со всего мира при постижения новых высот в области
математики и её ответвлений.
Даже в современном мире, в век высоких технологий, учебные
материалы Леонарда Эйлера остаются крайне востребованными. В
разделах математики широко известны такие понятия Эйлера, как:
- прямая;
- прямая в окружности;
- точка;
- теорема для многогранников;
- метод ломаных (метод решения дифференциальных уравнений);
- интеграл бета-функции и гамма-функции;
- угол (в механике – для определения движения тел);
- число (для работы в гидродинамике).
Наверно, невозможно найти хотя бы одну область в математической
науке, которая не основывается на учениях такого гениального
ученого, как Эйлер. Он оставил поистине значимый след в науке.
Но интересным и значимым является не только вклад Леонарда Эйлера
во всевозможных научных областях. Не менее интересной была и его
жизнь. Леонард родился 15 апреля 1707 г. в Базеле. Его воспитывал
отец, теолог по образованию и священнослужитель по роду
деятельности. Первоначальное обучение мальчик получал дома. Его
отец Пауль в свое время изучал математику у Якоба Бернулли. И
теперь он делился своими знаниями с сыном. Развивая в своём ребенке
логическое мышление, Пауль все-таки надеялся, что Леонард в будущем
продолжит его духовную карьеру. Но маленький гений был насколько
увлечен точной наукой, что ни дня не проводил без того, чтобы не
узнавать у отца все больше и больше об этой занимательной
науке.
Однако когда пришло время начать серьёзное обучение и получить
специальность, отец направил Леонарда в Базельский университет, где
молодой человек стал студентом факультета искусств. Там из него
должны были сделать духовного человека и направить по пути отца,
пастора. Но любовь с детства к математике изменила все планы Пауля,
и направила парня по другому пути – пути точных вычислений, формул
и цифр. Леонард стал лучшим студентом на своем потоке, благодаря
своей безупречной памяти и высоким способностям. А математические
успехи юного гения заметил сам Бернулли. Он пригласил Эйлера на
учёные занятия к себе домой, и эти учения стали еженедельными.
В 17 лет Леонард удостоился ученой степени магистра, за
великолепное прочтение на латыни лекции о философии взглядов
Ньютона и Декарда. Эйлер отметился ещё несколькими выдающимися
работами, одна из которых (по физике) выиграла в конкурсе
Базельского университета на должность профессора. Его труд вызвал
бурю восхищений и шквал положительных отзывов. Но несмотря на
высокое признание таланта молодого дарования, его посчитали слишком
юным для того, чтобы занять ответственную должность профессора
университета.
Вскоре, благодаря рекомендациям сыновей Бернулли, с которыми у
Леонарда сложились тёплые дружеские отношения, Эйлер получил свой
шанс в повышении квалификации. Его пригласили в Петербург,
возглавить кафедру по физиологии. Понимая, что в родном городе он
не достигнет значительных высот, Леонард принимает приглашение,
покидает Швейцарию и отправляется в Петербург.
А тем временем, шло активное развитие науки в Европе. Гениальный
Лейбниц представил миру проект, разработанный для создания научных
академий. Узнав о разработке данного проекта, Пётр I утвердил план
создания петербургской академии. В неё пригласили выдающихся
профессоров. Для продвижения обучения наукам и развития российских
учёных, были построены университет и гимназия при академии. Перед
членами академии стояла задача составить методические пособия для
начального изучения математики, механики, физики и других
специальностей. Эйлер написал пособие по изучению арифметики,
которое вскоре было переведено на русский язык. Эта рекомендация
стала первой в российском образовании, по которой начали обучать
школьников,
и она навсегда отметила Эйлера в истории как человека, внешнего
колоссальный вклад в развитии общества.
Вскоре власть сменилась, вместо Петра I престол заняла Анна
Иоанновна. Изменилась политика, изменились взгляды на государство,
в том числе и в плане образования. В учебной академии стали видеть
учреждение, приносящее большие убытки и не приносящее большой
пользы для правительства. Начали ходить слухи о её закрытии.
Но несмотря на все трудности, академия выстояла и продолжала свою
деятельность. Некоторые профессора ушли, побоявшись новой власти.
Благодаря этому, Леонард занял освободившуюся должность профессора
физики, что позволило ему к тому же получать достаточно большую
заработную плату. Через пару лет, Леонард Эйлер стал академиком
кафедры математики.
Помимо блистательной карьеры, у Леонарда была и счастливая жизнь. В
возрасте 26 лет он женился на прекрасной и утонченной Екатерины
Гзель, дочери известного живописца. День бракосочетания назначили
на Новый год, и приглашенными гостями стали все работники академии.
Две семьи великого Эйлера собрались для празднования двух
праздников. Семья родственников и семья из академии наук. Ведь для
него работа стала вторым домом, а коллеги стали близкими
людьми.
Работоспособность Эйлера поражала. Он не мог жить без своей научной
карьеры. Однажды он взял на разработку задание, полученное
академии. Особенностью являлось то, что задание было невероятно
большого объёма. На его выполнение было выделено три месяца. Однако
Эйлер хотел выделиться, показать свои выдающиеся способности, и
выполнил данное задание за три дня. Это вызвало бурю положительных
обсуждений и восхищение талантом профессора. Но сильное
перенапряжение оказало негативное влияние на организм ученого – не
выдержав мощной нагрузки, Леонард ослеп на один глаз. Но Эйлер
проявил стойкость и философскую мудрость, заявив, что теперь он
сможет уделить больше времени своей семье и личной жизни, поскольку
отныне будет меньше отвлекаться на математику.
После этого, Эйлер стал ещё более знаменит в кругу светил науки, а
его грандиозная работа, лишившая его половины зрения, принесла ему
поистине мировую славу. Его блестящее аналитическое изложение
механики как метода движения стало открытием новой вехи в мире
науки.
С совершенствованием мира, совершенствовалась и наука. Эйлер начал
изучение описания физических явлений с помощью интегралов.
Сложностью являлось то, что Леонард жил в Петербурге, где научная
академия не считалась выдающейся и не имела должного уважения.
Развитие науки ухудшилось ещё и тем, что в России был объявлен
новый правитель – малолетний Иоанн. По мнению Эйлера, положение
развития научных исследований стало нестабильным и не имело
развитого светлого будущего. Поэтому Эйлер с радостью принял
приглашение работать на Берлинскую академию. Но при этом математик
дал слово не забывать Петербургскую академию, которой он отдал
много лет своей жизни, и помогать по мере возможности. Через 25 лет
он вернётся на российскую землю. Но пока он с семьёй, женой и
детьми, переезжает в Берлин. Однако все время, которое Эйлер
пребывает в Берлине, он продолжает писать работы для российской
академии, редактировать новые методики русских учёных, приобретает
научные российские книги, а также принимает в своём доме студентов
из России, отправленных на стажировку к великому ученому. А главное
– остаётся почетным членом академии Петербурга.
Вскоре выходит собрание сочинений Бернулли, которое старый
профессор отправляет своему ученику в Берлин с просьбой продолжить
его труды. И Эйлер не подвёл своего учителя. Несмотря на проблемы
со здоровьем, он начинает активно выпускать работы, в последствии
приобретавшие колоссальный успех и признание. Такими работами
были:
- «Введение в анализ бесконечных»;
- «Наставления по дифференциальных исчислению»;
- «Теория движения луны»;
- «Морская наука»;
- «Письма о разных физических и философических материях».
Последняя из перечисленными работ стала очередным грандиозным
прорывом Эйлера, которая была переведена на десятки языков и
опубликована во множестве изданий всего мира. Помимо этого, Эйлер
писал множество научных статей, которые имели большой успех.
Несмотря на свое ученое образование, профессор не стремился писать
заумные статьи. Он всегда писал на языке, доступном для понимания
людей любого уровня знаний. Он описывал свои работы так, словно
изучал тему одновременно с читателем, начиная с открытия темы,
осознания цели работы, с рассуждений, приводящих к логическому
итогу. Самостоятельно пройдя путь обучения, пройдя через все его
сложные этапы, Эйлер знал, что ощущают люди, которые начинают
вникать в сложную структуру науки. Поэтому он старался сделать свои
работы интересными и понятными.
Большим достижением стало открытие формул, определяющих критическую
нагрузку при сжатии стержня. В те годы эта работа не вызвала
потребности в её использовании, но спустя почти столетие, она стала
необходимой при сооружении железнодорожных мостов в Англии.
Леонард выполнял огромный объем работ на основании своих открытий и
расчётов. В год выходило порядка 1000 страниц его трудов. Это
серьёзный масштаб даже для литературных произведений. Но то, что на
этих страницах были числа и формулы в таком объёме… Гениальность
профессора вызывает восхищение!
Новая императрица Екатерина II выделяла внушительные суммы для
развития науки, и обратив внимание на талантливого профессора,
предложила ему вернуться в Петербург и возглавить управление
математическим отделением в академии. В своём предложении она
указала достаточно солидный оклад, при этом отметив, что если
профессору эта сумма окажется недостаточной, она готова принять его
условия, лишь бы он согласился приехать в Петербург. Эйлер
соглашается на это выгодное предложение, однако его не желают
отпускать со службы в Берлине. После отказа нескольких его
прошений, Эйлер идёт на хитрость и просто перестаёт выпускать
научные работы. Это дало свои результаты, и ему наконец было
разрешено уехать в Россию. По прибытии в Петербург, императрица
одарила профессора всевозможными благами, в том числе выделила
средства на покупку личного дома и на его комфортабельную
обстановку. Первой просьбой Екатерины Великой стал проект идей,
модернизирующих академию.
Активная работа и сильное напряжение окончательно лишило Леонарда
Эйлера драгоценного зрения. Но даже это не остановило научного
гения от совершенствования научного мира. Все его мысли, открытия,
научные труды он диктует юному мальчику, который все старательно
записывает на немецком языке.
Вскоре случилась страшная непредвиденная ситуация – в Петербурге
возник грандиозный пожар, жертвами которого стали множества зданий.
В том числе и дом профессора. Его с трудом удалось спасти. По
счастью, его научные работы практически не пострадали. Сгорела
только одна работа – «Новая теория движения луны». Но благодаря
безупречной, феноменальной памяти, которая оставалась у Леонарда
даже в преклонном возрасте, уничтоженную работу удалось
восстановить.
Эйлер был вынужден переехать с семьёй в новый дом. Это вызвало у
профессора, лишившегося зрения, массу неудобств, поскольку все в
этом доме было ему незнакомым, и ему было сложно ориентироваться на
ощупь. Вскоре в Петербург приехал выдающийся немецкий окулист,
Венцель. Он намеревался вернуть великому профессору зрение.
Операция, которая длилась всего несколько минут, позволила вернуть
зрение Эйлеру на левый глаз. Доктор настоятельно рекомендовал
Леонарду беречь глаза, избегать долгого напряжения, не писать и не
читать. Но одержимая любовь профессора к науке не позволила ему
придерживаться рекомендаций окулиста. Он вновь стал активно
работать, что привело к страшным последствиям – он окончательно
потерял зрение. К удивлению окружающих, гений с невероятным
спокойствием относится ко всему произошедшему. Его научная
деятельность даже возросла – ясный поток мыслей позволил ему
осмыслить ещё ряд научных достижений, появляющихся на бумаге
благодаря его ученикам, которые писали под диктовку.
Вскоре умерла жена Леонарда, и это стало серьёзным потрясением для
него, человека, безумно привязанного к своей семье. Прожив с
любимой супругой 40 лет, Эйлер уже не представлял жизни без неё.
Отвлечься от горя ему помогала наука. До последних дней своей жизни
Эйлер продолжал активно и продуктивно работать. Его главным
помощником в написании стал старший сын, а также несколько верных
учеников. Все они были глазами профессора, позволяющими представить
научному миру последние мысли гения.
В 1793 году Леонард почувствовал резкое ухудшения здоровья, сильные
и регулярные головные боли вызывали у него серьёзное беспокойство и
уже не позволяли плодотворно работать. На одной из важных встреч с
Лекселем, обсуждая открытие новой планеты Уран, Эйлер почувствовал
сильное головокружение. Успев произнести слова «Я умираю»,
гениальный профессор потерял сознание. Позже медицинская экспертиза
выяснить, что он умер от кровоизлияния в мозг.
Великий математик Леонард Эйлер был похоронен петербургском
Смоленском кладбище. Мир потерял талантливого, превосходного
ученого, профессора и невероятного человека. Но после себя он
оставил грандиозный объем необходимых для человечества
открытый.
1.Леонард Эйлер
2.Труды Эйлера
2.1Ряд Эйлера-Маклорена
2.2Задача о колебаниях струны. Волновое уравнение
3 4Формула Эйлера
1.Леонард Эйлер
Этот великий ученый несомненно являлся центральной фигурой в науке XVIII столетия, и мы прежде всего познакомимся с его жизненным путем и творчеством. Научная деятельность Эйлера продолжалась без перерыва почти шестьдесят лет. С 1726 г. по 1783 г. он вел исследования во всех областях математики и механики XVIII в., а кроме того, во многих отелах астрономии, физики и техники. Его перу принадлежит около 850 научных трудов, среди них примерно два десятка объемистых монографий в одном двух и трех томах. Издание полного собрания его сочинений в трех сериях и более чем в семидесяти томах, начатое в 1911 г., еще не вполне закончено; в него не входят еще многие сотни сохранившихся научных писем Эйлеранередко представляющих собой небольшие статьи, - их предполагается издать в виде четвертой серии. Эйлер был не только величайшим математиком своего времени, которое по всей справедливости можно было бы наименовать в истории физико-математических наук «веком Эйлера» но и крупным организатором работ двух больших академий: Петербургской и Берлинской. Леонард Эйлер(1707-1783) родился в Базеле и первые уроки математики получил от отца, пастора Пауля Эйлера (1670-1745), обучавшегося этому предмету у И. Бернулли и в 1688 г. защитившего диссертации по теории отношении и пропорций. Отец предназначал сына также в пасторы, но склонность к математике взяла верх. В годы занятий в Базельском университете (1720-1724) Леонард Эйлер дополнительно изучал математику и механику под руководством Иоганна Бернулли. В 1725-1726 гг. молодой дилер выступил с первыми самостоятельными работами об изохронных кривых в сопротивляющейся среде, об одном специальном виде траектории, о наилучшем расположении мачт па корабле (эта работа представленная на конкурс Парижской академии, была принята к печати, хотя и не получила премии), о звуке. Диссертация о звуке была написана в связи с намерением Эйлера участвовать в конкурсе на вакансию профессора физики в Базельском университете. Должности здесь замещались тогда путем жребия среди отобранных кандидатов. Эйлер не был допущен к жеребьевке, вероятно, по молодости. Как пишет его швейцарский биограф О. Шпис, это было для Эйлера счастьем: в то время перед ним открылась более широкая перспектива деятельности. Действительно, делая попытку устроиться на родине, Эйлер уже имел приглашение в Петербургскую академию наук, которое ему выхлопотали работавшие в ней с 1725 г. сыновья его наставника Даниил и Николай II Бернулли. Эйлер последовал этому приглашению и весной 1727 г. Приехал в русскую столицу. Вначале предполагалось, что он займет свободную должность адъюнкта, т. с. младшего академика, по физиологии с тем, чтобы применить к этой науке математические методы. Перед поездкой Эйлер несколько месяцев штудировал анатомию и медицину, к которым, впрочем, не имел никакого призвания. Но в Петербурге все уладилось наилучшим образом: ему предоставили возможность работать в области математических наук. Несколько позднее это было оформлено официально. В январе1731 г. Эйлер получил место профессора, т. е. академика по физике, а летом 1733 г. заместил уехавшего Д. Бернулли на кафедре математики. В благоприятных условиях крупной академии, в регулярном общении с другими учеными - математиками, механиками, астрономами, физиками - гениальность Эйлера быстро проявилась во всей полноте. Человек исключительной энергии, он принял активное участие в различных академических мероприятиях, требовавших применения математики: составлении географических карт, различных технических экспертизах, решении многочисленных задач кораблестроения и кораблевождения, в составлении учебных руководств и отзывов на поступавшие сочинения и т. д. В задачах практики рождались стимулы и для многих теоретических исследований Эйлера, которые составляли главный предмет его неустанных размышлений. Частью еще в Базеле, но главным образом в первые годы жизни в Петербурге Эйлер наметил обширную программу исследований по математике и механике, которую успешно осуществлял, постоянно ее дополняя, до самых последних дней. Открытия его, печатавшиеся в академических «Записках» со второго их тома за 1727 г. (1729) и нередко получавшие известность еще до публикации благодаря его научной переписке, вскоре привлекли внимание ученого мира Европы. Слава его росла из года в год. Это своеобразно выразил в своих письмах к Эйлеру его прежний наставник Иоганн Бернулли, именуя его в 1728 г. «ученейшим и даровитейшим юным мужем», в 1731 г. «славнейшим и ученейшим господином профессором, дражайший другом» и, наконец, в 1710 г. «главой математиков»(Mathematicorum princeps). В это время Эйлер был членом двух академии - Петербургской и Берлинской. Несколько спустя его избрали своим иностранным членом Лондонское королевское общество (1749) и Парижская академия наук (1755). Эйлер прожил в Петербурге 14 лет, отмеченных основоположными исследованиями в теории рядов, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории чисел, динамике точки, теории музыки, в корабельной науке. Только часть подготовленных им в то время рукописей была тогда издана; за эти годы их вышло около 55, в том числе двухтомная «Механика» (1736). Летом 1741 г. Эйлер переехал в Берлин, куда его пригласи! прусский король Фридрих II, желавший поднять на высокий уровень деятельность Берлинской академии наук, влачившей при его предшественнике самое жалкое существование. Эйлер принял приглашение, так как в регентство Анны Леопольдовны, правившей с ноября 1740 г. но декабрь 1741 г., в Петербурге сложилась весьма неустойчивая и беспокойная политическая обстановка, отражавшаяся и на положении дел в Академии наук. Возглавляя Математический класс в качестве его директора, а в отсутствие президента Мопертюи и ряд лет после его смерти и всю работу Берлинской академии, Эйлер вместе с тем сохранил звание почетного члена Петербургской академии (с постоянной пенсией), фактически же оставался ее иногородним действительным членом. Сил его хватало для совершенно полноценного «совместительства» в двух академиях, свои сочинения он публиковал почти поровну в изданиях обеих и даже обе вместе они не справлялись с своевременной публикацией неиссякаемого потока его трудов. Помимо того, что он выполнял поручения прусского правительства по гидротехнике, баллистике, организации лотерей и проч., он редактировал математические отделы берлинских и петербургских академических записок, годами руководил занятиями живших у него на квартире молодых русских ученых - С.К. Котельникова, С.Я. Румовского, М. Софронова (1729-1760), участвовал в организации научных конкурсов обеих академий, вел живую переписку с немецкими университетскими профессорами и петербургскими академиками, в том числе М.В. Ломоносовым, подыскивал для нашей академии сотрудников, закупал для нее инструменты и книги. Силы Эйлера в зрелые годы кажутся неистощимыми. Продолжая осуществлять планы, намеченные в Петербурге, подготовляя или завершая фундаментальные трактаты по всем отделам анализа, он включает в круг занятий новые вопросы алгебры и теории чисел, эллиптические интегралы, уравнения математической физики, тригонометрические ряды, дифференциальную геометрию поверхностей, задачи топологии, механику твердого тела, гидродинамику, теорию движения Луны и планет, оптику, магнетизм и в каждой из перечисленных областей получает значительные и нередко первостепенные результаты. В это же время Эйлеру пришлось участвовать в нескольких важных дискуссиях, из которых мы назовем, по крайней мере, три: ) знаменитый спор по природе функций, входящих в решение дифференциального уравнения колеблющейся струны, в котором участвовали, кроме него, сперва Даламбер и Д. Бернулли, а затем втянулись и другие крупнейшие математики; ) спор с Даламбером о логарифмах отрицательных чисел и, наконец, На годы берлинской жизни приходится издание таких больших монографий Эйлера, как «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума» (Лозанна-Женева, 1744), «Новые принципы артиллерии» (Берлин, 1745) двухтомное «Введение в анализ бесконечных» (Лозанна, 1748), двухтомная «Морская наука» (Петербург,1740), изданные в Берлине за счет Петербургской академии «Теория движения Луны» (1753), «Дифференциальное исчисление» (1755) и «Теория движения твердых тел» (Росток-Грейфсвальд, 1705) - в общей сложности всего около 260 работ. Петербургская академия не раз ставила перед Эйлером вопрос о его возвращении. В 60-е годы отношения между Эйлером и Фридрихом II, и ранее не питавшими взаимной симпатии, резко ухудшились. Эйлер, швейцарский бюргер, воспитанный в протестантской традиции, и Фридрих II, прусский абсолютный монарх, поклонник вольтерианского вольнодумства, расходились в очень многом, в том числе и в отношении к математике, которая была для Эйлера делом всей его жизни и в которой король, почти вовсе не знавший ее, ценил только непосредственные и немедленные практические приложения. После смерти в 1759 г. Мопертюи король предложил место президента Даламберу, а когда тот отказался, поручил Эйлеру управлять академией без президентского титула и под своим личным руководством. Разногласия в некоторых финансовых и административных вопросах повлекли за собой разрыв между ученым и королем. Используя свое швейцарское подданство и поддержку русского правительства, Эйлер добился отставки и летом 1760 г. навсегда вернулся в Петербург. Идейный порыв Эйлера в молодые и зрелые лета продолжал давать великолепные результаты и в старости. Добавим, что около 300 статей и фрагментов увидело свет уже после его смерти. При всем многообразии интересов Эйлера центральное место в них принадлежит анализу. Из 30 томов математической серии его собрания сочинений 19 отведено анализу, за этим идут теория чисел, геометрия, алгебра и комбинаторика с теорией вероятностей. К тому же большинство геометрических работ Эйлера посвящено исследованию кривых и поверхностей с помощью алгебры и исчисления бесконечно малых, а многие труды его по механике (их также 30томов) содержат новые математические приемы решения дифференциальных уравнений, интегрирования функций и т. д. В наших курсах анализа большое число формул и методов до сих пор носит имя Эйлера, и оно встречается, пожалуй, чаще других имен. По, помимо отдельных приемов и формул, мы обязаны Эйлеру основанием нескольких больших дисциплин, которые лишь в зачаточной форме существовали ранее: теории дифференциальных уравнений - обыкновенных и с частными производными, вариационного исчисления, элементарной теории функций комплексного переменного. И он же положил начало теории суммирования рядов, разложениям функций в тригонометрические ряды, теории специальных функций и определенных интегралов, дифференциальной геометрии поверхностей и, наконец, теории чисел, как особой науке. В речи памяти Эйлера, произнесенной в Парижской академии наук, Кондорсе, описывая последние часы жизни Эйлера, сказал, что он кончил «вычислить и жить». Эйлер, в самом деле, был неутомимым «вычислителем» как в узком, так и в широком смысле слова и, пожалуй, как никто, владел техникой расчетов. Эта особенность его гения отвечала потребности науки того времени, особенно нуждавшейся в быстром развитии формального аналитического аппарата. Но Эйлер был и мыслителем, внесшим огромный вклад в разработку фундаментальных идей математики, без чего также невозможно было се развитие, таких, как понятия числа, функции, функционала, суммы ряда, интеграла, решения дифференциального уравнения и т. д. Вместе с тем оп создавал новую алгебраически-арифметическую архитектуру анализа. Правда, Эйлер уступал в построении обобщающих концепций более молодому Лагранжу, который ярче отразил в своей теории аналитических функций и аналитической механике духовные устремления эпохи просвещения, в других сферах мышления приведших к созданию новых больших философских, исторических, социально-политических систем. Не следует, однако, забывать, что Лагранж во многом непосредственно следовал за Эйлером, углубляя и совершенствуя его методы и концепции. Влияние Эйлера было исключительно велико. Лаплас повторял молодым математикам: читайте Эйлера, он наш общий учитель. Прямых учеников у Эйлера было немного, по его труды были настольными в XVIII в. и далеко за его пределами для всех творческих математиков, а работу многих он непосредственно направлял путем переписки. Эйлер охотно и щедро делился своими мыслями и к нему применимы слова, сказанные Фонтенелем о Лейбнице: «он любил наблюдать, как расцветают в чужом саду растения, семена которых он сам доставил». Можно сделать вывод о том, что влияние Эйлера было очень велико. эйлер математика физика астрономия
2.Труды Эйлера
2.1Ряд Эйлера-Маклорена
Эйлер и независимо от него, Маклорен открыли общий прием суммирования, примерами которого являются результаты Ньютона и Стирлинга и который выражает частную сумму бесконечного ряда sn = ∑ u (k) через другой ряд, члены которого содержат общий член u (n), его интеграл и производные. Впервые Эйлер привел формулу суммирования без доказательства и примеров употребления в работе 1732 г. «Общий метод суммирования рядов» (Methodus generalis summandi progressiones. Commentarii, (1732 -1733) 1738), вывод ее дан в статье «Отыскание суммы ряда по данному общему члену», представленной Петербургской академии в 1735 г. (Inventiosummae enjusque seriei ex dato termino generali. Commentarii, (1736-1741).
Мы упоминали эту статью в связи с тем, что в ней ряд Тейлора записал в дифференциальных обозначениях. Обозначая общий член ряда X и сумму его х членов S, Эйлер разложил S (х-1) в ряд Тейлора, а X в ряд, из которого затем получил выражение S через X и его производные. Для этого он представил dS/dx рядом с неопределенными коэффициентами вида, так что (постоянная интегрирования удовлетворяет тому условию, что при х = 0 также X = 0 и S = 0). Далее он дифференцированием нашел выраженние для d2S/dx2, d3S/dx3 и т. д. и подставил их, вместе с выражением для dS/dx, в разложение функции X, после чего, применяя метод неопределенных коэффициентов, получил уравнения, определяющие каждое из чисел α, β, γ, δ, ε.... через все предшествующие (считая после первогоα); это позволяет последовательно вычислить
α = 1, β = 1/2, γ = 1/l2,δ = 0, е = - 1/720, и т. д.
Еще раньше Эйлер обнаружил, что отношение двух последовательных чисел Бернулли B2n+2:B2n c ростом индекса неограниченно возрастает по абсолютной величине (Commentarii, (1739-1750). Поэтому бесконечный ряд Эйлера-Маклорена, вообще говоря, расходится. Тем не менее, формула суммирования может доставлять превосходные приближения, если ограничиваться частными суммами ряда с надлежащим числом членов. В только что упомянутой статье Эйлер дал новый способ вычисления π, исходя из равенства arctg, приближенной замены интеграла на сумму и оценки разности arctg t - S по формуле суммирования.
Полагая t = 1, Эйлер получил и при n = 5 подсчитал 12 верных десятичных знаков. Особенности поведения ряда он охарактеризовал при этом исчерпывающим образом и указал, что для приближенного вычисления следует взять сумму тех первых членов ряда, которые убывают до наименьшего включительно. Он даже сделал попытку оценить в данном случае степень приближения по числу использованных членов и первому отброшенному члену, но приведенную им оценку не обосновал. Асимптотические ряды получили важные применения также у Лагранжа, Лапласа, Лежандра, который назвал эти ряда полусходящимися (series demi-convergentes), и других ученых. Впоследствии их изучали Коши, Пуассон, которые дали первые выражения остаточного члена, Якоби, Лобачевский, Остроградский и т. д. В широком плане к построению теории асимптотических разложений приступил Л. Пуанкаре (1886).Сама формула суммирования Эйлера - Маклорена является теперь однойиз основных в теории конечных разностей и ее приложениях.
2Задача о колебаниях струны. Волновое уравнение (решение Эйлера).
В только что названной статье Эйлер сначала выводит уравнение (1) колебания струны. Затем он формулирует требование отыскания общего решения этого уравнения при произвольно заданной фигуре струны. О начальной скорости струны прямо не говорится, но из дальнейших выкладок вытекает, что она считается равной пулю. При этих условиях Эйлер нашел решение, которое, по его собственному признанию, по форме существенно не отличается от решения Даламбера. Эйлер решил уравнение (1) при любом постоянном а, и потому его решение имеет вид
у = φ (х + at) + ψ(х - at),(2)
где φ и ψ - функции, определяемые из граничных и начальных условий задачи так же, как это сделано у Даламбера.
В 1766 г. Эйлер предложил новый метод решения уравнения колебании струны, вошедший затем в третий том его «Интегрального исчисления» (1770), а позднее - во все учебники по дифференциальным уравнениям. Вводя новые координаты:
u= х + at, v = х - at,
он преобразовал уравнение (1) колебания струны к легко интегрируемому виду По современной терминологии координаты u и v Эйлера называются характеристическими. В этих координатах от вторых производных функции остается только смешанная производная. Эйлер первый понял, что уравнение колебания струны отражает процесс распространения волн. Волной при этом называют процесс передвижения отклонения какой-либо точки струны по струне. 3Обобщение Эйлером теоремы Ферма
В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что
aφ(m) ≡ 1 (mod m),
где φ(m) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших m.Встречающееся здесь число φ (m), которое по предложению Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде
φ (m)=m(1-1/p) (1-1/p,)…,
где р, p,,… - простые делители числа m. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3,..., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях».Теорема эта гласит, что величина 1*2*3... (р-1)+1 делится без остатка на p, где р, как и всюду здесь, - простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем общем сравнении
xp-1 - 1 ≡ (x + l) (x + 2)...(x + р - 1) (mod р)
при x = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И.Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Enid., 1769). К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4т + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 , воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении аm ≡ 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 12, 22, З2,..., (р-1)2на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua).
4Формула Эйлера
Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:
eix = cosx + isinx
Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:
ln(cosx + isinx) = ix
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя. Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера. Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид
z = r(cosφ + isinφ)
На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
z = reiφ
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь
r = |z|, φ = argz
Cписок использовавшихся источников
1.Юшкевич А.П., История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Наука, 1972. - 496
2.Юшкевич А. П., История математики от Декарта до середины XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 467
.http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Эйлера
Леонард Эйлер - один из величайших математиков всех времен - отличался неудержимой тягой к знаниям и неуемной энергией. Его именем названы многие классические теоремы во всех областях математики.
Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года. Пауль Эйлер – отец мальчика – был пастором и мечтал, чтобы сын пошел по его стопам. С первых лет жизни он обучает Леонарда всевозможным наукам, желая воспитать в нем тягу к новым знаниям. Особенный талант обнаружился у Эйлера к точным предметам и отец сразу же стал развивать его способности. Сам Пауль посвящал занятиям математикой практически все свободное время, а в юности даже посещал уроки знаменитого Якоба Бернулли.
Домашнее обучение стало прочным фундаментом для дальнейшего образования мальчика. Когда он поступил в базельскую гимназию, все предметы дались ему с необычайной легкостью. Тем не менее, уровень преподавания в средней школе оставлял желать лучшего и Эйлер стал искать новые возможности получения знаний. В 13 лет Леонард поступает в Базельский университет на факультет свободных искусств. Так он попадает на лекции по математике младшего брата Якоба Бернулли – Иоганна.
Профессор замечает способного ученика и назначает Эйлеру индивидуальные занятия. Под чутким руководством Бернулли мальчик знакомится со сложнейшими трудами великих математиков, учится их понимать и анализировать. Такой подход к обучению позволил Леонарду получить первую ученую степень уже в 16 лет, когда он на латинском языке смог провести сравнительный анализ работ Декарта и Ньютона. Так Эйлер становится магистром искусств.
После окончания университета в образование сына снова вмешался Пауль. Будучи уверенным, что Леонард станет священником, отец заставляет его учить языки: древнееврейский и греческий. Особых успехов Эйлер не добился, так что отцу пришлось смириться с его увлечением математикой. Тем не менее, 17-летнему юноше не удается найти работу по специальности – все места в университете заняты. Он продолжает посещать дом профессора Бернулли и заводит тесную дружбу с его сыновьями: Даниилом и Николаем.
В 1727 году, вслед за братьями Бернулли, ученый уезжает в Петербург. Здесь Эйлер становится адъюнктом высшей математики. В 1730 году Леонарду Эйлеру предложили возглавить кафедру физики, а в январе 1731 года он становится профессором. С 1733 года под его руководством уже кафедра высшей математики. За 14 лет, проведенных в Петербурге, он издает труды по гидравлике, навигации, механике, картографии и, конечно же, математике. В общей сложности на его счету более 70 научных работ. На западе Эйлера узнают именно как русского ученого. Швейцарские корни Леонарда напоминают о себе лишь в личной жизни – он женится на швейцарке Катерине Гзель.
Петербургская Академия наук на то время могла похвастаться уникальным педагогическим составом. Здесь преподают и ведут научную деятельность такие известные ученые, как Я. Герман, Д. Бернулли, Х. Гольдбах и многие другие. Такая компания позволяет Эйлеру максимально углубиться в свои исследования, и ученый публикует все новые и новые работы в изданиях Академии. Самая значимая из них – двухтомник «Механика».
Фридрих II, будучи королем Пруссии, решает открыть Берлинскую Академию на основе Общества наук. Он приглашает Эйлера работать в Берлине на очень выгодных условиях. В 1841 году ученый решается на переезд, тем не менее, ведет активную переписку с российскими учеными, в частности, с Ломоносовым. В Берлине Леонард Эйлер знакомится с президентом Академии наук Моро де Мопертюи и фактически становится его заместителем – Моро часто болеет, а Эйлер выполняет его обязанности.
В Германии ученый продолжает работать в области теории чисел, математического анализа и вариационного исчисления, применяет новый подход к изучению геометрии. Результатом исследований Эйлера становится новая наука – топология. Тогда же в поле интересов Леонарда попадает кораблестроение и небесная механика. В последней он достигает небывалых успехов – создает теорию движения Луны, учитывая притяжение Солнца.
Долгожданный пост президента Академии Эйлер так и не получил, что стало одной из основных причин его возвращения в Петербург. Здесь его тепло принимает сама покровительница наук – Екатерина II. Ученый с энтузиазмом принимается работать на благо России.
Возраст дает о себе знать, и в 60 лет Эйлер почти полностью теряет зрение, тем не менее, научной деятельности не прекращает. После возвращения он успевает напечатать 200 сочинений в разных областях науки.
Первая жена Леонарда умирает вскоре после переезда и, спустя пару лет, ученый женится на ее родной сестре Саломее-Абигайль Гзель. Его дети принимают русское подданство.
Правительство высоко ценит достижения ученого и его вклад в развитие науки. Даже прекратив свою научную деятельность, Эйлер и его семья были полностью обеспечены всем необходимым за счет государства. Леонард Эйлер умирает в 1783 году в Петербурге в возрасте 75 лет. К этому времени у него было 5 детей и 26 внуков. После себя он оставил 800 научных статей и 72 тома, посвященных различным областям науки.
За время своей научной деятельности Леонард Эйлер основал теорию функций с комплексными переменными, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных. Он стал первопроходцем в вариационном исчислении и топологии, применял новые приемы интегрирования. Его именем названы многие теоремы алгебры и теории чисел, которые впоследствии стали классическими.
Пользуясь результатами Стирлинга и Ньютона, Эйлер в 1732 году (в одно время с Маклареном) открыл общий закон суммирования. Другими словами, выразил частную сумму, интеграл и производную бесконечного ряда sn= ∑ u (k) через ряд с общим членамu (n). Исследуя полученные данные, а также отношение чисел Бернулли B2n+2:B2n, Эйлер определил, что данный ряд - расходящийся, тем не менее, смог вычислить его приблизительное значение. Для этого ученый использовал сумму всех членов ряда, которые убывают. Это открытие привело к понятию асимптотического ряда, которому в дальнейшем посвятили свои труды многие известные математики. Среди них Лаплас , Лежандр, Лагранжа , Пуассон и Коши. Формула Эйлера-Макларена стала основой теории конечных разностей.
Увлекшись работами Даламбера, Эйлер начинает изучать теорию струн. В своей статье "О колебании струны" ученый находит общее решение уравнения колебания, принимая начальную скорость за нулевую величину. Оно имело вид у = φ (х + at) + ψ(х - at), где а - константа, и мало отличалось от решения Даламбера. Впрочем, в 1766 году Эйлер находит и свой собственный метод, который позже войдет в его "Интегральное исчисление" (1770).Для этого он ввел новые координаты, которые привели уравнение к более простому для интегрирования виду: u= х + at, v = х - at. В современных учебниках по дифференциальным уравнениям такие координаты называют характеристическими и широко применяют для различного рода вычислений.
Одним из главных открытий Эйлера стала формула, названная его именем. В ней говорится о том, что для любого действительного x верно равенство eix= cosx + isinx (i - мнимая единица, e - основание натурального логарифма). Таким образом, ученый связал тригонометрическую функцию и комплексную экспоненту. Формула была опубликована в книге "Введение в анализ бесконечно малых" (1748). Продолжая исследования в этой области, Эйлер получил показательную форму комплексного числа вида z = reiφ.
Кроме того, он значительно упростил и сократил математические записи – ввел обозначения для тригонометрических функций: tg x, ctg x, sec x, cosec x и первым стал рассматривать их, как функции числового аргумента, что и стало основой современной тригонометрии.
Как позже утверждал Лаплас, все математики XVIII века учились у Эйлера. Впрочем, даже спустя несколько столетий, его математические методы применяют в морском деле, баллистике, оптике, теории музыки и страховом деле.