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Leçon : Comment construire une parabole ou une fonction quadratique ?

PARTIE THÉORIQUE

Une parabole est le graphique d'une fonction décrite par la formule ax 2 +bx+c=0.
Pour construire une parabole, vous devez suivre un algorithme simple :

1) Formule parabolique y=ax 2 +bx+c,
Si une>0 alors les branches de la parabole sont dirigées en haut,
sinon les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Membre gratuit c ce point coupe la parabole d'axe OY ;

2), on le trouve grâce à la formule x=(-b)/2a, nous substituons le x trouvé dans l'équation de la parabole et trouvons oui;

3)Zéros de fonction ou, en d'autres termes, les points d'intersection de la parabole avec l'axe OX, ils sont aussi appelés racines de l'équation. Pour trouver les racines, nous assimilons l’équation à 0 hache 2 +bx+c=0;

Types d'équations :

a) L'équation quadratique complète a la forme hache 2 +bx+c=0 et est résolu par le discriminant ;
b) Équation quadratique incomplète de la forme hache 2 + bx = 0. Pour le résoudre, vous devez retirer x des parenthèses, puis assimiler chaque facteur à 0 :
hache 2 + bx = 0,
x(hache+b)=0,
x=0 et ax+b=0 ;
c) Équation quadratique incomplète de la forme hache 2 +c=0. Pour le résoudre, vous devez déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre. x = ±√(c/a);

4) Trouvez plusieurs points supplémentaires pour construire la fonction.

PARTIE PRATIQUE

Et maintenant, à l'aide d'un exemple, nous allons tout analyser étape par étape :
Exemple 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 signifie que la parabole coupe OY au point x=0 y=3. Les branches de la parabole se lèvent puisque a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 le sommet est au point (-2;-1)
Trouvons les racines de l'équation x 2 +4x+3=0
En utilisant le discriminant on trouve les racines
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1 =(-4+2)/2=-1
x2 =(-4-2)/2=-3

Prenons plusieurs points arbitraires situés près du sommet x = -2

x-4-3-1 0
y 3 0 0 3

Remplacez au lieu de x dans l'équation y=x 2 +4x+3 valeurs
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Il ressort des valeurs de la fonction que la parabole est symétrique par rapport à la droite x = -2

Exemple n°2 :
y=-x 2 +4x
c=0 signifie que la parabole coupe OY au point x=0 y=0. Les branches de la parabole regardent vers le bas puisque a=-1 -1 Trouvons les racines de l'équation -x 2 +4x=0
Équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0. Pour le résoudre, vous devez retirer x des parenthèses, puis assimiler chaque facteur à 0.
x(-x+4)=0, x=0 et x=4.

Prenons plusieurs points arbitraires situés près du sommet x=2
x0 1 3 4
y 0 3 3 0
Remplacez au lieu de x dans l'équation y=-x 2 +4x valeurs
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Il ressort des valeurs de la fonction que la parabole est symétrique par rapport à la droite x = 2

Exemple n°3
y = x 2 -4
c=4 signifie que la parabole coupe OY au point x=0 y=4. Les branches de la parabole se lèvent puisque a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 le sommet est au point (0;- 4)
Trouvons les racines de l'équation x 2 -4=0
Équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0. Pour le résoudre, vous devez déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre. x = ±√(c/a)
x2 =4
x1 =2
x2 =-2

Prenons plusieurs points arbitraires situés près du sommet x=0
x-2-1 1 2
oui 0 -3 -3 0
Remplacer au lieu de x dans l'équation y= x 2 -4 valeurs
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Il ressort des valeurs de la fonction que la parabole est symétrique par rapport à la droite x = 0

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Dans les cours de mathématiques à l'école, vous vous êtes déjà familiarisé avec les propriétés et le graphique les plus simples d'une fonction y = x 2. Développons nos connaissances sur fonction quadratique.

Exercice 1.

Représenter graphiquement la fonction y = x 2. Echelle : 1 = 2 cm Marquer un point sur l'axe Oy F(0 ; 1/4). A l'aide d'un compas ou d'une bande de papier, mesurez la distance du point Fà un certain point M paraboles. Épinglez ensuite la bande au point M et faites-la pivoter autour de ce point jusqu'à ce qu'elle soit verticale. La fin de la bande tombera légèrement en dessous de l'axe des x (Fig. 1). Marquez sur la bande jusqu'où elle s'étend au-delà de l'axe des x. Prenez maintenant un autre point sur la parabole et répétez la mesure. Dans quelle mesure le bord de la bande est-il tombé en dessous de l’axe des x ?

Résultat: quel que soit le point de la parabole y = x 2 que vous prenez, la distance de ce point au point F(0; 1/4) sera supérieure à la distance du même point à l'axe des abscisses de toujours le même nombre - 1/4.

On peut le dire différemment : la distance de n'importe quel point de la parabole au point (0 ; 1/4) est égale à la distance du même point de la parabole à la droite y = -1/4. Ce merveilleux point F(0; 1/4) est appelé se concentrer paraboles y = x 2 et droite y = -1/4 – directrice cette parabole. Chaque parabole a une directrice et un foyer.

Propriétés intéressantes d'une parabole :

1. Tout point de la parabole est équidistant d'un certain point, appelé foyer de la parabole, et d'une ligne droite, appelée sa directrice.

2. Si vous faites pivoter une parabole autour de l'axe de symétrie (par exemple, la parabole y = x 2 autour de l'axe Oy), vous obtiendrez une surface très intéressante appelée paraboloïde de révolution.

La surface du liquide dans un récipient en rotation a la forme d'un paraboloïde de rotation. Vous pouvez voir cette surface si vous remuez vigoureusement avec une cuillère dans un verre de thé incomplet, puis retirez la cuillère.

3. Si vous jetez une pierre dans le vide à un certain angle par rapport à l'horizon, elle volera en parabole (Fig.2).

4. Si vous coupez la surface d'un cône avec un plan parallèle à l'une de ses génératrices, alors la section transversale donnera lieu à une parabole. (Fig.3).

5. Les parcs d'attractions proposent parfois un manège amusant appelé Paraboloïde des Merveilles. Il semble à tous ceux qui se trouvent à l’intérieur du paraboloïde en rotation qu’ils se tiennent au sol, tandis que le reste des gens s’accroche miraculeusement aux murs.

6. Dans les télescopes à réflexion, des miroirs paraboliques sont également utilisés : la lumière d'une étoile lointaine, arrivant dans un faisceau parallèle, tombant sur le miroir du télescope, est focalisée.

7. Les projecteurs ont généralement un miroir en forme de paraboloïde. Si vous placez une source de lumière au foyer d'un paraboloïde, les rayons réfléchis par le miroir parabolique forment un faisceau parallèle.

Représenter graphiquement une fonction quadratique

Dans les cours de mathématiques, vous avez étudié comment obtenir des graphiques de fonctions de la forme à partir du graphique de la fonction y = x 2 :

1) y = hache 2– étirer le graphe y = x 2 le long de l'axe Oy en |a| fois (avec |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riz. 4).

2) y = x 2 + n– déplacement du graphique de n unités le long de l'axe Oy, et si n > 0, alors le déplacement est vers le haut, et si n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– décalage du graphique de m unités le long de l’axe Ox : si m< 0, то вправо, а если m >0, puis je suis parti, (Fig.5).

4) y = -x 2– affichage symétrique par rapport à l'axe Ox du graphique y = x 2 .

Examinons de plus près le tracé de la fonction y = une(x – m) 2 + n.

Une fonction quadratique de la forme y = ax 2 + bx + c peut toujours être réduite à la forme

y = a(x – m) 2 + n, où m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Prouvons-le.

Vraiment,

y = hache 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Introduisons de nouvelles notations.

Laisser m = -b/(2a), UN n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

alors nous obtenons y = a(x – m) 2 + n ou y – n = a(x – m) 2.

Faisons quelques substitutions supplémentaires : soit y – n = Y, x – m = X (*).

On obtient alors la fonction Y = aX 2 dont le graphique est une parabole.

Le sommet de la parabole est à l'origine. X = 0 ; Oui = 0.

En substituant les coordonnées du sommet dans (*), on obtient les coordonnées du sommet du graphe y = a(x – m) 2 + n : x = m, y = n.

Ainsi, afin de tracer une fonction quadratique représentée par

y = une(x – m) 2 + n

à travers les transformations, vous pouvez procéder comme suit :

un) tracer la fonction y = x 2 ;

b) par translation parallèle le long de l'axe Ox de m unités et le long de l'axe Oy de n unités - transférer le sommet de la parabole de l'origine au point de coordonnées (m ; n) (Fig.6).

Transformations d'enregistrement :

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Exemple.

À l'aide de transformations, construisez un graphique de la fonction y = 2(x – 3) 2 dans le système de coordonnées cartésiennes – 2.

Solution.

Chaîne de transformations :

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Le tracé est montré dans riz. 7.

Vous pouvez vous entraîner à représenter graphiquement des fonctions quadratiques par vous-même. Par exemple, construisez un graphique de la fonction y = 2(x + 3) 2 + 2 dans un système de coordonnées à l'aide de transformations. Si vous avez des questions ou souhaitez obtenir des conseils d'un enseignant, vous avez la possibilité de procéder cours gratuit de 25 minutes avec un tuteur en ligne après inscription. Pour poursuivre votre collaboration avec le professeur, vous pouvez choisir le plan tarifaire qui vous convient.

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Fonction quadratique

Fonction f(x)=ax2+bx2+c, Où une, b, c- quelques nombres réels ( un 0), appelé fonction quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique s'appelle parabole.

La fonction quadratique peut être réduite à la forme

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

expression b2-4ac appelé discriminant trinôme carré. La représentation d'une fonction quadratique sous la forme (1) est appelée sélection carré complet.

Propriétés d'une fonction quadratique et de son graphique

Le domaine de définition d’une fonction quadratique est la droite numérique entière.

À b La fonction 0 n’est ni paire ni impaire. À b=0 fonction quadratique - paire.

Une fonction quadratique est continue et différentiable dans tout son domaine de définition.

La fonction a un seul point critique

x=-b/(2a). Si un>0, alors au point x=-b/(2a) la fonction a un minimum. À X<-b/(2a) la fonction décroît de façon monotone, avec x>-b/(2a) augmente de façon monotone.

Si UN<0, то в точке x=-b/(2a) la fonction a un maximum. À X<-b/(2a) la fonction augmente de façon monotone, avec x>-b/(2a) diminue de façon monotone.

Graphique ponctuel d'une fonction quadratique en abscisse x=-b/(2a) et ordonné y= -((b2-4ac)/4a) appelé le sommet de la parabole.

Zone de changement de fonction : quand un>0 - ensemble de valeurs de fonction [-((b2-4ac)/4a); +); à un<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Le graphique d'une fonction quadratique coupe l'axe 0 ansà ce point y = c. Si b2-4ac>0, le graphique d'une fonction quadratique coupe l'axe 0x en deux points (racines réelles différentes de l'équation quadratique) ; Si b2-4ac=0(une équation quadratique a une racine de multiple 2), le graphique de la fonction quadratique touche l'axe 0xà ce point x=-b/(2a); Si b2-4ac<0 , intersections avec l'axe 0x Non.

De la représentation d'une fonction quadratique sous la forme (1), il s'ensuit également que le graphique de la fonction est symétrique par rapport à la droite x=-b/(2a)- image de l'axe des ordonnées lors d'une translation parallèle r=(-b/(2a); 0).

Graphique d'une fonction

f(x)=ax2+bx+c

• (ou f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) peut être obtenu à partir du graphique d’une fonction f(x)=x2 avec les transformations suivantes:
  • a) transfert parallèle r=(-b/(2a); 0);
  • b) compression (ou étirement) vers l'axe des x c UN une fois;
  • c) transfert parallèle

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle appelée fonction de la forme f(x)=hache, Où UN- un nombre réel positif appelé la base du diplôme.À une=1 la valeur de la fonction exponentielle pour toute valeur de l'argument est égale à un, et le cas UN=1 ne sera pas pris en compte davantage.

Propriétés de la fonction exponentielle.

Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble de tous les nombres positifs.

La fonction est continue et différentiable dans tout son domaine de définition. La dérivée de la fonction exponentielle est calculée à l'aide de la formule

(un x) = un xln un

À UN>1 fonction augmente de façon monotone, avec UN<1 монотонно убывает.

La fonction exponentielle a une fonction inverse appelée fonction logarithmique.

Le graphique de toute fonction exponentielle coupe l'axe 0 ansà ce point oui=1.

Le graphique d’une fonction exponentielle est une courbe dirigée de manière concave vers le haut.

Graphique de la fonction exponentielle à la valeur UN=2 est illustré à la Fig. 5

Fonction logarithmique

La fonction inverse de la fonction exponentielle y= un x s'appelle logarithmique et désigne

y = log x.

Nombre UN appelé base fonction logarithmique. Une fonction logarithmique de base 10 est notée

et une fonction logarithmique de base e dénoter

Propriétés de la fonction logarithmique

Le domaine de définition de la fonction logarithmique est l'intervalle (0 ; +).

La plage de la fonction logarithmique est toute la plage numérique.

La fonction logarithmique est continue et différentiable dans tout son domaine de définition. La dérivée d'une fonction logarithmique est calculée à l'aide de la formule

(loga x) = 1/(x ln a).

Une fonction logarithmique augmente de façon monotone si UN>1. À 0<un<1 логарифмическая функция с основанием UN diminue de façon monotone. Pour quelque raison que ce soit un>0, un 1, les égalités sont valables

log 1 = 0, log = 1.

À UN>1 graphique d'une fonction logarithmique - une courbe dirigée de manière concave vers le bas ; à 0<un<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Graphique de la fonction logarithmique à UN=2 est illustré à la Fig. 6.

Identité logarithmique de base

Fonction inverse pour la fonction exponentielle y= un x sera une fonction logarithmique x =log un y. D'après les propriétés des fonctions mutuellement inverses f et f-I pour tout X du domaine de définition de la fonction f-I(x). En particulier, pour une fonction exponentielle et logarithmique, l'égalité (1) prend la forme

un enregistrer un y = y.

L'égalité (2) est souvent appelée identité logarithmique de base. Pour tout positif x, y pour la fonction logarithmique, les égalités suivantes sont vraies, qui peuvent être obtenues comme conséquences de l'identité logarithmique principale (2) et des propriétés de la fonction exponentielle :

log (xy) = log x + log y ;

loga (x/y)= loga x-loga y ;

loga(x)= logax(- n'importe quel nombre réel) ;

log=1 ;

loga x =(logb x/ logb a) (b- nombre réel, b>0, b 1).

En particulier, à partir de la dernière formule pour a = e, b=10 on obtient l'égalité

ln x = (1/(ln e))LG X.(3)

numéro LG e est appelé module de transition des logarithmes naturels aux logarithmes décimaux et est désigné par la lettre M, et la formule (3) est généralement écrite sous la forme

lg x = M ln x.

Relation inversement proportionnelle

Variable oui appelé inversement proportionnel variable X, si les valeurs de ces variables sont liées par égalité y = k/x, Où k- un nombre réel différent de zéro. Nombre k appelé coefficient de proportionnalité inverse.

Propriétés de la fonction y = k/x

Le domaine d’une fonction est l’ensemble de tous les nombres réels sauf 0.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble de tous les nombres réels sauf 0.

Fonction f(x) = k/x- impair, et son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Fonction f(x) = k/x continue et différenciable dans tout le domaine de définition. f(x) = -k/x2. La fonction n'a pas de points critiques.

Fonction f(x) = k/x pour k>0 diminue de façon monotone en (-, 0) et (0, +), et pour k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Graphique d'une fonction f(x) = k/x pour k>0 dans l'intervalle (0, +), il est dirigé de manière concave vers le haut, et dans l'intervalle (-, 0) - de manière concave vers le bas. À k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Graphique d'une fonction f(x) = k/x pour la valeur k=1 est illustré sur la figure. 7.

fonctions trigonométriques

Fonctions sin, cos, tg, ctg sont appelés fonctions trigonométriques coin. En plus des principales fonctions trigonométriques sin, cos, tg, ctg, il existe deux autres fonctions trigonométriques d'angle - sécante Et cosécante, noté seconde Et cosec respectivement.

Sinus Nombres X est le nombre égal au sinus de l'angle en radians.

Propriétés de la fonction sin x.

La fonction sin x est impaire : sin (-x)=- sin x.

La fonction sin x est périodique. La plus petite période positive est 2 :

péché (x+2)= péché x.

Zéros de la fonction : sin x=0 à x= n, n Z.

Intervalles de constance des signes :

péché x>0 à x (2 n; +2n), n Z,

péché x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

La fonction sin x est continue et a une dérivée pour toute valeur de l'argument :

(péché x) = cos x.

La fonction sin x augmente à mesure que x ((-/2)+2 n;(/2)+2n), n Z, et diminue à mesure que x ((/2)+2 n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

La fonction sin x a des valeurs minimales égales à -1 à x=(-/2)+2 n, n Z, et valeurs maximales égales à 1 à x=(/2)+2 n, n Z.

Le graphique de la fonction y=sin x est présenté sur la Fig. 8. Le graphique de la fonction sin x s'appelle sinusoïde.

Propriétés de la fonction cos x

Le domaine de définition est l’ensemble de tous les nombres réels.

La plage de valeurs est l'intervalle [-1 ; 1].

Fonction cos x - pair : cos (-x)=cos x.

La fonction cos x est périodique. La plus petite période positive est 2 :

cos (x+2)= cos x.

Zéros de la fonction : cos x=0 à x=(/2)+2 n, n Z.

Intervalles de constance des signes :

cos x>0 à x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

parce que x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

La fonction cos x est continue et différentiable pour toute valeur de l'argument :

(cos x) = -sin x.

La fonction cos x augmente à mesure que x (-+2 n; 2n), n Z,

et diminue à mesure que x (2 n; + 2n),n Z.

La fonction cos x a des valeurs minimales égales à -1 à x=+2 n, n Z, et valeurs maximales égales à 1 à x=2 n, n Z.

Le graphique de la fonction y=cos x est présenté sur la Fig. 9.

Propriétés de la fonction tg x

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x=/2+ n, n Z.

Fonction tg x - impair : tg (-x)=- tg x.

La fonction tg x est périodique. La plus petite période positive de la fonction est :

tg (x+)= tg x.

Zéros de la fonction : tg x=0 à x= n, n Z.

Intervalles de constance des signes :

bronzage x>0 à x ( n; (/2)+n), n Z,

tgx<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

La fonction tg x est continue et différentiable pour toute valeur de l'argument du domaine de définition :

(tgx) =1/cos2x.

La fonction tg x augmente dans chacun des intervalles

((-/2)+n; (/2)+n), nZ,

Le graphique de la fonction y=tg x est présenté sur la Fig. 10. Le graphique de la fonction tg x s'appelle tangentoïde.

Propriétés de la fonction сtg x.

n, n Z.

La plage est l’ensemble de tous les nombres réels.

Fonction сtg x - impair : сtg (-х)=- сtg x.

La fonction сtg x est périodique. La plus petite période positive de la fonction est :

ctg (x+) = ctgx.

Zéros de la fonction : ctg x=0 à x=(/2)+ n, n Z.

Intervalles de constance des signes :

lit x>0 à x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

La fonction ctg x est continue et différentiable pour toute valeur de l'argument du domaine de définition :

(ctg x) =-(1/sin2 x).

La fonction ctg x diminue dans chacun des intervalles ( n;(n+1)), n Z.

Le graphique de la fonction y=сtg x est présenté sur la Fig. onze.

Propriétés de la fonction sec x.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception des nombres de la forme

x=(/2)+ n, n Z.

Portée:

Fonction sec x - pair : sec (-x)= sec x.

La fonction sec x est périodique. La plus petite période positive de la fonction est 2 :

seconde (x+2)= seconde x.

La fonction sec x ne va à zéro pour aucune valeur de l'argument.

Intervalles de constance des signes :

sec x>0 à x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

seconde x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

La fonction sec x est continue et différentiable pour toute valeur de l'argument du domaine de définition de la fonction :

(sec x) = péché x/cos2 x.

La fonction sec x augmente par intervalles

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

et diminue entre les deux

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

Le graphique de la fonction y=sec x est présenté sur la Fig. 12.

Propriétés de la fonction cosec x

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception des nombres de la forme x= n, n Z.

Portée:

Fonction cosec x - impair : cosec (-x)= -cosec x.

La fonction cosec x est périodique. La plus petite période positive de la fonction est 2 :

cosec (x+2)= cosec x.

La fonction cosec x ne va à zéro pour aucune valeur de l'argument.

Intervalles de constance des signes :

cosec x>0 à x (2 n; +2n), n Z,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

La fonction cosec x est continue et différentiable pour toute valeur de l'argument du domaine de la fonction :

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

La fonction cosec x augmente par intervalles

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

et diminue entre les deux

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

Le graphique de la fonction y=cosec x est présenté sur la Fig. 13.

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• Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
• De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
• Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

• Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, dans le cadre d'une procédure judiciaire et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes des autorités gouvernementales du territoire de la Fédération de Russie - divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.