Les matrices, leur classification, les opérations arithmétiques sur les matrices. Matrices. Types de matrices. Termes de base Réduction sous forme pas à pas

Concept/définition de matrice. Types de matrices

Définition d'une matrice. Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres contenant un certain nombre de m lignes et un certain nombre de n colonnes.

Concepts matriciels de base : Les nombres m et n sont appelés ordres de la matrice. Si m=n, la matrice s'appelle carré, et le nombre m=n est son ordre.

Dans ce qui suit, la notation sera utilisée pour écrire la matrice : Bien que parfois la notation se retrouve dans la littérature : Cependant, pour désigner brièvement une matrice, on utilise souvent une grande lettre de l'alphabet latin (par exemple, A), ou le symbole ||aij||, et parfois avec une explication : A=||aij||=(aij ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Les nombres aij inclus dans cette matrice sont appelés ses éléments. Dans l'entrée aij, le premier index i est le numéro de ligne et le deuxième index j est le numéro de colonne.

Par exemple, la matrice c'est une matrice d'ordre 2×3, ses éléments sont a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Nous avons donc introduit la définition d'une matrice. Considérons les types de matrices et donnons les définitions correspondantes.

Types de matrices

Introduisons la notion de matrices : carré, diagonale, unité et zéro.

Définition d'une matrice carrée : Matrice Carrée Une matrice d’ordre n est appelée matrice n×n.

Dans le cas d'une matrice carrée Le concept de diagonales principales et secondaires est introduit. La diagonale principale de la matrice est appelée la diagonale allant du coin supérieur gauche de la matrice à son coin inférieur droit. Diagonale latérale de la même matrice est appelée la diagonale allant du coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Le concept de matrice diagonale : Diagonale est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont égaux à zéro. Le concept de matrice identitaire : Célibataire(notée E parfois I) est appelée une matrice diagonale avec des unités sur la diagonale principale. Le concept de matrice nulle : Nul est une matrice dont les éléments sont tous nuls. Deux matrices A et B sont dites égales (A=B) si elles ont la même taille (c'est-à-dire qu'elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes et que leurs éléments correspondants sont égaux). Donc si alors A=B, si a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

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Billet 17 :

Question 1 : Définition d'une parabole. Dérivation de l'équation :

Définition. Une parabole est un ensemble de points sur un plan dont chacun est à la même distance d'un point donné, appelé foyer, et d'une droite donnée, appelée directrice et ne passant pas par le foyer.

Plaçons l'origine des coordonnées au milieu entre le foyer et la directrice.

La valeur p (la distance du foyer à la directrice) est appelée paramètre de la parabole. Dérivons l'équation canonique de la parabole.

A partir des relations géométriques : AM = MF ; UN M = x + p/2 ;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

Équation directrice : x = -p/2.

Question 2 : Théorème de Cauchy :

Théorème: Soit les fonctions et différentiables sur l'intervalle et continues pour et , et pour tous . Alors dans l'intervalle il y a un point tel que

Signification géométrique : La donnée du théorème est qu'à l'intérieur il y a un point t 0, dont les coefficients angulaires sont calculés par l'égalité :

Preuve. Montrons d'abord que , c'est-à-dire que la fraction à gauche de la formule a un sens. En effet, pour cette différence on peut écrire la formule des incréments finis :

chez certains. Mais du côté droit de cette formule, les deux facteurs sont non nuls.

Pour prouver le théorème, nous introduisons une fonction auxiliaire

La fonction est évidemment différentiable pour tous et continue aux points et , puisque les fonctions et ont ces propriétés. De plus, il est évident que lorsque cela s'avèrera . Montrons cela et :

Cela signifie que la fonction satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur le segment. Par conséquent, il y a un tel point.

Calculons maintenant la dérivée de la fonction :

Nous obtenons cela

d'où on obtient l'énoncé du théorème :

Commentaire: Nous pouvons considérer les fonctions et les coordonnées d'un point se déplaçant sur un plan, qui décrit une ligne reliant le point de départ au point final. (Ensuite, les équations définissent paramétriquement une certaine dépendance, dont le graphique est la ligne.)

Figure 5.6 Une corde est parallèle à une tangente à la courbe

Le rapport, comme il est facile de le voir sur le dessin, fixe ensuite le coefficient angulaire de la corde reliant les points et. En même temps, d'après la formule de la dérivée d'une fonction spécifiée paramétriquement, on a : . Cela signifie qu'une fraction est le coefficient angulaire de la tangente à la ligne en un point donné. . Ainsi, l'énoncé du théorème signifie, d'un point de vue géométrique, qu'il existe un point sur la droite tel que la tangente tracée en ce point est parallèle à la corde reliant les points extrêmes de la droite. Mais c'est la même affirmation qui constitue la signification géométrique du théorème de Lagrange. Ce n'est que dans le théorème de Lagrange que la droite était spécifiée par une dépendance explicite, et dans le théorème de Cauchy par une dépendance spécifiée sous forme paramétrique.

Billet 18 :

Question 1 : La notion de matrice. Classement matriciel :

Définition. Une matrice de taille mn, où m est le nombre de lignes et n le nombre de colonnes, est un tableau de nombres disposés dans un certain ordre. Ces nombres sont appelés éléments matriciels. L'emplacement de chaque élément est déterminé de manière unique par le numéro de la ligne et de la colonne à l'intersection desquelles il se trouve. Les éléments de la matrice sont notés aij, où i est le numéro de ligne et j est le numéro de colonne. UNE =

Classification des matrices :.

Une matrice peut être constituée d'une ligne ou d'une colonne. D'une manière générale, une matrice peut même être constituée d'un seul élément.

Définition . Si le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de lignes (m=n), alors la matrice s'appelle carré.

Définition . Voir la matrice : = E, est appelée la matrice identité.

Définition. Si amn = anm, alors la matrice est dite symétrique. Exemple. - matrice symétrique

Définition . Matrice carrée de la forme appelé matrice diagonale .

Question 2 : Théorème de Lagrange :

Théorème: Soit la fonction dérivable sur l'intervalle et continue aux points et . Il y aura alors un point tel que

Signification géométrique : Donnons d’abord une illustration géométrique du théorème. Relions les extrémités du graphique sur un segment avec une corde. Augmentations finales et - ce sont les dimensions des pattes d'un triangle dont l'hypoténuse est la corde tracée.

Figure 5.5. La tangente en un certain point est parallèle à la corde

Le rapport des incréments finaux et est la tangente de l'angle d'inclinaison de la corde. Le théorème stipule qu'une tangente peut être tracée au graphique d'une fonction différentiable en un certain point, qui sera parallèle à la corde, c'est-à-dire que l'angle d'inclinaison de la tangente () sera égal à l'angle d'inclinaison de la accord (). Mais la présence d’une telle tangente est géométriquement évidente.

Notez que la corde dessinée reliant les points et est le graphique d'une fonction linéaire. Puisque la pente de cette fonction linéaire est évidemment égale à , Que

Preuve du théorème de Lagrange. Réduisons la preuve à l'application du théorème de Rolle. Pour ce faire, nous introduisons une fonction auxiliaire, c'est-à-dire

remarquerez que et (en construisant la fonction ). Puisqu’une fonction linéaire est différentiable pour tout , la fonction satisfait donc toutes les propriétés énumérées dans les conditions du théorème de Rolle. Il y a donc un point tel que Par philosophie : réponses aux copies d'examen Aide-mémoire >> Philosophie

Berceau Par philosophie : réponses aux copies d'examen... peinture, sculpture et architecture, travail Par mathématiques, la biologie, la géologie, l'anatomie sont dédiées à l'homme... s'auto-discipliner, s'orienter vers plus haut objectifs. Pensées fondamentales de l'Orient ancien...

Notez que les éléments matriciels ne peuvent pas être uniquement des nombres. Imaginons que vous décriviez les livres qui se trouvent dans votre bibliothèque. Laissez votre étagère être en ordre et tous les livres se trouvent à des endroits strictement définis. Le tableau, qui contiendra une description de votre bibliothèque (par étagères et par ordre des livres sur l'étagère), sera également une matrice. Mais une telle matrice ne sera pas numérique. Un autre exemple. Au lieu de nombres, il existe différentes fonctions, unies par une certaine dépendance. Le tableau résultant sera également appelé matrice. Autrement dit, une Matrice est toute table rectangulaire composée de homogèneéléments. Ici et plus loin, nous parlerons de matrices constituées de nombres.

Au lieu de parenthèses, des crochets ou des doubles lignes verticales droites sont utilisées pour écrire des matrices.

(2.1*)

Définition 2. Si dans l'expression(1) m = n, puis ils parlent de Matrice Carrée, et si , alors oh rectangulaire.

En fonction des valeurs de m et n, on distingue certains types particuliers de matrices :

La caractéristique la plus importante carré la matrice c'est elle déterminant ou déterminant, qui est constitué d’éléments matriciels et est noté

Évidemment, D E = 1 ; .

Définition 3. Si , alors la matrice UN appelé non dégénéré ou pas spécial.

Définition 4. Si detA = 0 , alors la matrice UN appelé dégénérer ou spécial.

Définition 5. Deux matrices UN Et B sont appelés égal et écrire A = B s'ils ont les mêmes dimensions et que leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire.

Par exemple, les matrices et sont égales, car ils sont de taille égale et chaque élément d'une matrice est égal à l'élément correspondant de l'autre matrice. Mais les matrices ne peuvent pas être qualifiées d'égales, bien que les déterminants des deux matrices soient égaux et que les tailles des matrices soient les mêmes, mais tous les éléments situés aux mêmes endroits ne sont pas égaux. Les matrices sont différentes car elles ont des tailles différentes. La première matrice a une taille de 2x3 et la seconde est de 3x2. Bien que le nombre d'éléments soit le même - 6 et que les éléments eux-mêmes soient les mêmes 1, 2, 3, 4, 5, 6, mais ils se trouvent à des endroits différents dans chaque matrice. Mais les matrices sont égales, selon la définition 5.

Définition 6. Si vous corrigez un certain nombre de colonnes matricielles UN et le même nombre de lignes, alors les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes indiquées forment une matrice carrée n- ème ordre, dont le déterminant appelé mineure k- matrice d'ordre UN.

Exemple. Notez trois mineurs du second ordre de la matrice

Définition 1.Matrice, dimensions p q est un tableau rectangulaire de nombres contenant p lignes et q Colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés éléments de la matrice.

Les formules (3.1) impliquent des matrices de dimensions k n Et n k.

Règles d'écriture des matrices :

1). Les matrices sont désignées par des lettres latines majuscules. L'indice de la lettre est la dimension de la matrice. Cet indice peut être omis si la dimension de la matrice est connue.

2). Le symbole « T », comme précédemment (voir page), signifie transposition , c'est-à-dire remplacer les lignes par des colonnes.

3). Le tableau des nombres lui-même est écrit entre parenthèses.

4). Si la matrice n'est pas transposée, alors le premier index de son élément signifie le numéro de ligne, le second - le numéro de colonne.

Les matrices sont très largement utilisées en mathématiques, en informatique, en économie, etc. Les règles de fonctionnement des matrices sont une des questions de l'algèbre linéaire. C'est à partir de l'algèbre linéaire que le concept de matrice est venu à d'autres domaines de la connaissance.

Classification des matrices par dimension.

Les matrices carrées jouent un rôle particulier en algèbre linéaire. Examinons-les plus en détail. Tout d'abord, notons que dans le cas d'une matrice carrée ils ne parlent pas de la dimension de la matrice
, Et à propos ordre matriciel, égal n.

Une matrice carrée a diagonales principales et secondaires :

diagonale secondaire diagonale principale

Classification des matrices carrées

Considérant une matrice comme un système de vecteurs arithmétiques, il est facile de comprendre ce que signifie l'égalité des matrices et comment les opérations linéaires sont effectuées sur celles-ci.

Égalité matricielle

Deux les matrices de même dimension sont égales entre eux si leurs éléments correspondants 7 sont égaux.

Pour faciliter la rédaction des déclarations concernant les matrices, le symbolisme suivant est souvent utilisé :

Dans une telle entrée, le symbole « » – désignation de l'un des éléments de la matrice, indices je , j - actuel indices , variables, valeurs en cours d'exécution, . La formule développée (3.2) ressemble à ceci :