Le théorème de Vieta est souvent utilisé pour vérifier les racines déjà trouvées. Si vous avez trouvé les racines, vous pouvez utiliser les formules \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pour calculer les valeurs de \(p \) et \(q\ ). Et s’ils s’avèrent être les mêmes que dans l’équation originale, alors les racines sont trouvées correctement.
Par exemple, en utilisant , résolvons l'équation \(x^2+x-56=0\) et obtenons les racines : \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vérifions si nous avons commis une erreur dans le processus de résolution. Dans notre cas, \(p=1\), et \(q=-56\). D'après le théorème de Vieta, nous avons :
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Les deux affirmations ont convergé, ce qui signifie que nous avons résolu l’équation correctement.
Cette vérification peut être effectuée oralement. Cela prendra 5 secondes et vous évitera des erreurs stupides.
Théorème inverse de Vieta
Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), alors \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l'équation quadratique \ (x^ 2+px+q=0\).
Ou de manière simple : si vous avez une équation de la forme \(x^2+px+q=0\), alors résoudre le système \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) vous trouverez ses racines.
Grâce à ce théorème, on peut trouver rapidement les racines d'une équation quadratique, surtout si ces racines sont . Cette compétence est importante car elle permet de gagner beaucoup de temps.
Exemple . Résolvez l'équation \(x^2-5x+6=0\).
Solution
: En utilisant le théorème inverse de Vieta, nous constatons que les racines satisfont aux conditions : \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Regardez la deuxième équation du système \(x_1 \cdot x_2=6\). En quels deux le nombre \(6\) peut-il être décomposé ? Sur \(2\) et \(3\), \(6\) et \(1\) ou \(-2\) et \(-3\), et \(-6\) et \(- 1\). La première équation du système vous indiquera quelle paire choisir : \(x_1+x_2=5\). \(2\) et \(3\) sont similaires, puisque \(2+3=5\).
Répondre
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Exemples
. En utilisant l'inverse du théorème de Vieta, trouvez les racines de l'équation quadratique :
une) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Solution
:
a) \(x^2-15x+14=0\) – en quels facteurs \(14\) se décompose-t-il ? \(2\) et \(7\), \(-2\) et \(-7\), \(-1\) et \(-14\), \(1\) et \(14\ ). Quelles paires de nombres totalisent \(15\) ? Réponse : \(1\) et \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) – en quels facteurs \(-4\) se décompose-t-il ? \(-2\) et \(2\), \(4\) et \(-1\), \(1\) et \(-4\). Quelles paires de nombres totalisent \(-3\) ? Réponse : \(1\) et \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – en quels facteurs \(20\) se décompose-t-il ? \(4\) et \(5\), \(-4\) et \(-5\), \(2\) et \(10\), \(-2\) et \(-10\ ), \(-20\) et \(-1\), \(20\) et \(1\). Quelles paires de nombres totalisent \(-9\) ? Réponse : \(-4\) et \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) – en quels facteurs \(780\) se décompose-t-il ? \(390\) et \(2\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Non. Quels autres multiplicateurs possède \(780\) ? \(78\) et \(10\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Oui. Réponse : \(78\) et \(10\).
Il n’est pas nécessaire d’étendre le dernier terme à tous les facteurs possibles (comme dans le dernier exemple). Vous pouvez immédiatement vérifier si leur somme donne \(-p\).
Important! Le théorème de Vieta et le théorème inverse ne fonctionnent qu'avec , c'est-à-dire celui pour lequel le coefficient de \(x^2\) est égal à un. Si on nous donnait initialement une équation non réduite, alors nous pouvons la réduire en divisant simplement par le coefficient devant \(x^2\).
Par exemple, donnons l’équation \(2x^2-4x-6=0\) et nous voulons utiliser l’un des théorèmes de Vieta. Mais nous ne pouvons pas, puisque le coefficient de \(x^2\) est égal à \(2\). Débarrassons-nous-en en divisant l'équation entière par \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Prêt. Vous pouvez maintenant utiliser les deux théorèmes.
Réponses aux questions fréquemment posées
Question:
En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez résoudre n'importe quel ?
Répondre:
Malheureusement non. Si l’équation ne contient pas d’entiers ou si l’équation n’a aucune racine, alors le théorème de Vieta ne sera d’aucune aide. Dans ce cas, vous devez utiliser discriminant
. Heureusement, 80 % des équations mathématiques scolaires ont des solutions entières.
I. Théorème de Vieta pour l'équation quadratique réduite.
Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre :
x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.
Trouvez les racines de l'équation quadratique donnée en utilisant le théorème de Vieta.
Exemple 1) x 2 -x-30=0. C'est l'équation quadratique réduite ( x2 +px+q=0), deuxième coefficient p=-1, et le membre gratuit q=-30. Tout d’abord, assurons-nous que cette équation a des racines et que les racines (le cas échéant) seront exprimées en nombres entiers. Pour ce faire, il suffit que le discriminant soit le carré parfait d’un nombre entier.
Trouver le discriminant D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Or, selon le théorème de Vieta, la somme des racines doit être égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, c'est-à-dire ( -p), et le produit est égal au terme libre, c'est-à-dire ( q). Alors:
x1 +x2 =1 ; x1 ∙x2 =-30. Il faut choisir deux nombres tels que leur produit soit égal à -30 , et le montant est unité. Ce sont des chiffres -5 Et 6 . Réponse : -5 ; 6.
Exemple 2) x 2 +6x+8=0. On a l'équation quadratique réduite avec le deuxième coefficient p=6 et membre gratuit q=8. Assurons-nous qu'il existe des racines entières. Trouvons le discriminant J 1 J 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Le discriminant D 1 est le carré parfait du nombre 1 , ce qui signifie que les racines de cette équation sont des nombres entiers. Sélectionnons les racines à l'aide du théorème de Vieta : la somme des racines est égale à –р=-6, et le produit des racines est égal à q=8. Ce sont des chiffres -4 Et -2 .
En fait : -4-2=-6=-р ; -4∙(-2)=8=q. Réponse : -4 ; -2.
Exemple 3) x 2 +2x-4=0. Dans cette équation quadratique réduite, le deuxième coefficient p=2, et le membre gratuit q=-4. Trouvons le discriminant J 1, puisque le deuxième coefficient est un nombre pair. J 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Le discriminant n'est pas un carré parfait du nombre, donc nous le faisons conclusion: Les racines de cette équation ne sont pas des nombres entiers et ne peuvent être trouvées à l’aide du théorème de Vieta. Cela signifie que nous résolvons cette équation, comme d'habitude, en utilisant les formules (dans ce cas, en utilisant les formules). On a:
Exemple 4).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si x1 =-7, x2 =4.
Solution. L'équation recherchée s'écrira sous la forme : x 2 +px+q=0, et, basé sur le théorème de Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 →p=3 ; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . L’équation prendra alors la forme : x2 +3x-28=0.
Exemple 5).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si :
II. Théorème de Vieta pour une équation quadratique complète hache 2 +bx+c=0.
La somme des racines est moins b, divisé par UN, le produit des racines est égal à Avec, divisé par
2.5 Formule Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs
Les formules dérivées de Viète pour les équations quadratiques sont également vraies pour les polynômes de degrés supérieurs.
Laissez le polynôme
P(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 + … +une n
A n racines différentes x 1, x 2..., x n.
Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :
une 0 x n + une 1 x n-1 +…+ une n = une 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Divisons les deux côtés de cette égalité par a 0 ≠ 0 et ouvrons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissances sont égaux. Il s'ensuit que l'égalité
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Par exemple, pour les polynômes du troisième degré
une 0 x³ + une 1 x² + une 2 x + une 3
Nous avons des identités
x1 + x2 + x3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x1x2x3 = -
Quant aux équations quadratiques, cette formule est appelée formules de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques à partir des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.
2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)
Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :
hache 4 + bx 2 + c = 0,
appelé biquadratique, et a ≠ 0.
Il suffit de mettre x 2 = y dans cette équation, donc,
ay² + par + c = 0
trouvons les racines de l'équation quadratique résultante
oui 1,2 = 
Pour trouver immédiatement les racines x 1, x 2, x 3, x 4, remplacez y par x et obtenez
x² =
x1,2,3,4 = 
.
Si une équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,
Si a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d’une telle équation est nulle.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Remplaçons l'équation dans la formule des racines des équations biquadratiques :
x1,2,3,4 = 
,
sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :
x 3,4 = 
Réponse : x 1,2 = ±2 ; x 1,2 =
2.7 Etude des équations biquadratiques
Prenons l'équation biquadratique
hache 4 + bx 2 + c = 0,
où a, b, c sont des nombres réels, et a > 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², on examine les racines de cette équation et on inscrit les résultats dans le tableau (voir annexe n°1)
2.8 Formule Cardano
Si nous utilisons le symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :
X = 
Cette formule détermine les racines d'une équation générale du troisième degré :
hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Cela ne s'appliquera pas toujours, parce que... très difficile à remplir.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Listez ou sélectionnez les endroits les plus intéressants parmi 2-3 textes. Ainsi, nous avons examiné les dispositions générales de création et de déroulement des cours au choix, qui seront prises en compte lors de l'élaboration d'un cours au choix d'algèbre pour la 9e année « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre ». Chapitre II. Méthodologie de déroulement du cours au choix « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre » 1.1. Sont communs...
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Avant de passer au théorème de Vieta, nous introduisons une définition. Équation quadratique de la forme X² + px + q= 0 est dit réduit. Dans cette équation, le coefficient dominant est égal à un. Par exemple, l'équation X² - 3 X- 4 = 0 est réduit. Toute équation quadratique de la forme hache² + b X + c= 0 peut être réduit en divisant les deux côtés de l'équation par UN≠ 0. Par exemple, équation 4 X² + 4 X— 3 = 0 en divisant par 4 se réduit à la forme : X² + X— 3/4 = 0. Dérivons la formule des racines de l'équation quadratique réduite, pour cela nous utilisons la formule des racines d'une équation quadratique générale : hache² + bx + c = 0
Équation réduite X² + px + q= 0 coïncide avec une équation générale dans laquelle UN = 1, b = p, c = q. Par conséquent, pour l’équation quadratique donnée, la formule prend la forme : 
la dernière expression est appelée la formule des racines de l'équation quadratique réduite ; il est particulièrement pratique d'utiliser cette formule lorsque R.- nombre pair. Par exemple, résolvons l'équation X² — 14 X — 15 = 0
En réponse, nous écrivons que l’équation a deux racines.
Pour l’équation quadratique réduite avec positif, le théorème suivant est valable.
Théorème de Vieta
Si X 1 et X 2 - racines de l'équation X² + px + q= 0, alors les formules sont valides :
X 1 + X 2 = — R.
x 1 * x 2 = q, c'est-à-dire que la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.
Sur la base de la formule des racines de l’équation quadratique ci-dessus, nous avons :
En additionnant ces égalités, on obtient : X 1 + X 2 = —R.
En multipliant ces égalités, en utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :
A noter que le théorème de Vieta est également valable lorsque le discriminant est égal à zéro, si l'on suppose que dans ce cas l'équation quadratique a deux racines identiques : X 1 = X 2 = — R./2.
Sans résoudre les équations X² — 13 X+ 30 = 0 trouver la somme et le produit de ses racines X 1 et X 2. cette équation D= 169 – 120 = 49 > 0, donc le théorème de Vieta peut être appliqué : X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Examinons quelques exemples supplémentaires. Une des racines de l'équation X² — px- 12 = 0 est égal X 1 = 4. Trouver le coefficient R. et la deuxième racine X 2 de cette équation. Par le théorème de Vieta x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R. Parce que X 1 = 4, puis 4 X 2 = - 12, d'où X 2 = — 3, R. = — (X 1 + X 2) = - (4 - 3) = - 1. En réponse, nous écrivons la deuxième racine X 2 = - 3, coefficient p = — 1.
Sans résoudre les équations X² + 2 X- 4 = 0 trouvons la somme des carrés de ses racines. Laisser X 1 et X 2 - racines de l'équation. Par le théorème de Vieta X 1 + X 2 = — 2, x1 * x2 = — 4. Parce que X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 alors X 1²+ X 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Trouvons la somme et le produit des racines de l'équation 3 X² + 4 X- 5 = 0. Cette équation a deux racines différentes, puisque le discriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Pour résoudre l’équation, nous utilisons le théorème de Vieta. Ce théorème a été prouvé pour l'équation quadratique donnée. Divisons donc cette équation par 3.
Par conséquent, la somme des racines est égale à -4/3 et leur produit est égal à -5/3.
En général, les racines de l'équation hache² + b X + c= 0 sont liés par les égalités suivantes : X 1 + X 2 = — b/une, x 1 * x 2 = c/une, Pour obtenir ces formules, il suffit de diviser les deux côtés de cette équation quadratique par UN ≠ 0 et appliquez le théorème de Vieta à l’équation quadratique réduite résultante. Prenons un exemple : vous devez créer une équation quadratique réduite dont les racines X 1 = 3, X 2 = 4. Parce que X 1 = 3, X 2 = 4 - racines de l'équation quadratique X² + px + q= 0, alors par le théorème de Vieta R. = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. Nous écrivons la réponse sous la forme X² — 7 X+ 12 = 0. Lors de la résolution de certains problèmes, le théorème suivant est utilisé.
Théorème inverse du théorème de Vieta
Si les chiffres R., q, X 1 , X 2 sont tels que X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Que x1 Et x2- racines de l'équation X² + px + q= 0. Remplacer par le côté gauche X² + px + q au lieu de R. expression - ( X 1 + X 2), et à la place q- travail x1 * x2 . On a: X² + px + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Ainsi, si les chiffres R., q, X 1 et X 2 sont reliés par ces relations, alors pour tout X l'égalité est vraie X² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), d'où il résulte que X 1 et X 2 - racines de l'équation X² + px + q= 0. En utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta, on peut parfois trouver les racines d’une équation quadratique par sélection. Regardons un exemple, X² — 5 X+ 6 = 0. Ici R. = — 5, q= 6. Choisissons deux nombres X 1 et X 2 pour que X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. En remarquant que 6 = 2 * 3, et 2 + 3 = 5, par le théorème inverse du théorème de Vieta, on obtient que X 1 = 2, X 2 = 3 - racines de l'équation X² — 5 X + 6 = 0.