Как понять иррациональное число или нет. Иррациональное число. Алгебраические и трансцендентные числа

Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух - является числом иррациональным.

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел.

Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

Иррациональные числа, примеры.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y .
Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

См. также

Примечания

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ()

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .

Например . Иррациональными числами являются:

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение , вычитание , умножение и деление ; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например . Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе - последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac{1}{9}$$

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $\frac{1}{9}$ , которое является рациональным.

Пример

Задание. Доказать, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

$$3=\frac{m^{2}}{n^{2}} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=m^{2}$$

Число 3$\cdot n^{2}$ делится на 3. Поэтому $m^{2}$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 \cdot k$, равенство $3 \cdot n^{2}=m^{2}$ можно записать в виде

$$3 \cdot n^{2}=(3 \cdot k)^{2} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=9 \cdot k^{2} \Leftrightarrow n^{2}=3 \cdot k^{2}$$

Из последнего равенства следует, что $n^{2}$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.

Что и требовалось доказать.

Иррациональные числа известны людям с глубокой древности. Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.

Данная статья является своего рода вводным уроком в тему "Иррациональные числа". Приведем определение и примеры иррациональных чисел с пояснением, а также выясним, как определить, является ли данное число иррациональным.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Иррациональные числа. Определение

Само название "иррациональные числа" как бы подсказывает нам определение. Иррациональное число - это действительное число, которое не является рациональным. Другими словами, такое число нельзя представить в виде дроби m n , где m - целое, а n - натуральное число.

Определение. Иррациональные числа

Иррациональные числа - это такие числа, которые в десятичной форме записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.